Ejemplos resueltos
Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
Recordemos los elementos de una pirámide
Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer:
- El área de la base (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide.
- El perímetro de la base(pb ), que es la longitud de todas las caras.
- La apotema de la base (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado.
- La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral.
- La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.
Si deseas el formulario para obtener el volumen haz clic aquí
Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de una pirámide son las siguientes:
Ejemplos de ejercicios de área y volumen de una pirámide.
1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.
Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema
indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:
Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.
Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular. Es el área coloreada.
Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.
2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m; y el apotema de la base 0.60m
Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.
Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.
Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono. Es el área coloreada.
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.
3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las siguientes:
Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.
Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.
Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero. Es el área coloreada.
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:
Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.
Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C² = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² – A²;.
Veamos en la siguiente imagen:
Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:
Otros ejemplos relacionados. Ejercicio 1
genial son muy buenos los ejemplos
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Ely gracias por tu comentario.
Feliz año!
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sisio esta mas feliz gracias a ti
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Encerio les gusto
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cool
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Ana gracias por tu comentario.
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si Saben Como Explicar
grasias A Ustedes Pase Mi Examen Para Entrar Al CCH
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Felicidades. Saludos.
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Tienes razón
Son muy buenos resultados 😀😁😃☺
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La verdad me esta gustando muy bien
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la verdad me he quedado con la boca abierta
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muchas gracias por los ejemplos, son excelentes…
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Lili que bueno que te hayan sido útiles. Saludos.
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muy buenos ejercicios muchas gracia y saludos siga a si
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Agradezco comentario. Saludos.
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excelente pude entrar al colegio municipal gracias a los consejos
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Encontré un error, no quiero ser negativo pero es lo que estoy buscando y nadie puede decirme. La altura de una de las caras de el triángulo nunca puede ser igual a la altura de la pirámide, ya que la cara de la pirámide esta inclinada y la altura es una línea recta entre el centro de la base de la pirámide y la cúspide de la misma por lo tanto no se corresponden
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Así es Federico. La altura del triángulo que forma una cara siempre es diferente a la altura de la pirámide.
Si te fijas en los ejemplos que expongo, en la pirámide cuadrangular la altura de la pirámide es 12 cm. y la del triángulo de la cara es 13 cm.
En la pirámide pentagonal la altura de la pirámide es 3.20m y la del triángulo de la cara es 3.325576m
En la pirámide triangular la altura del triángulo de la cara es 12 cm. y la altura de la pirámide no se da, pero con el Teorema de Pitágoras la puedes obtener (restando 12² – 2.595² = 144 – 6.734025 = 137.265975 y sacas raíz cuadrada a esta cantidad, quedando 11.7160cm). Como ves, en los tres casos la altura de la pirámide no es igual a la del triángulo de la cara de la pirámide.
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De hecho, la altura de la pirámide triangular tampoco es 10.8198.
Tienes razón en que se obtiene con el teorema de pitágoras, pero tu error fue que utilizaste como medida los 5.19 cm que mide la altura de la base cuando deberías haber tomado la mitad de eso.
Esto debido a que la altura de la piramide va desde el centro de la base hacia el vertice,
y del centro de la base hasta uno de los aristas la medida sería 2.595 quedando la fórmula como se muestra a continuación:
Altura de la pirámide (h) = \sqrt\(12^2-2.595^2)
Siendo \sqrt\ el símbolo de raíz cuadrada y «^» la elevación a potencia.
Por lo tanto, la altura de la pirámide sería de: 11.7160
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Alan tienes razón en tu comentario. He realizado la corrección en la medida de la altura.
Te agradezco mucho la observación.
Saludos.
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gracias a esta web mi profe de mate me saco puros 20
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gracias
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Excelente explicación de verdad… es de mucha ayuda para que uno se base en ello y explicar mas ejemplos. gracias.
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genial me ayudara mucho para mi prueba que tendre este lunes, gracias
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gracias en verdad me sirven pero tambien me gustaria que vos pusieran algunos ejercicios interactivos sos español dalelike a mi comentario (me tambien)
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alan voz teneis toda la razon te agradesco por el comentario sos muy inteligente
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Esta pagina es mejor que las imagenes de google y mucho mejor que cualquier pagina web incluyendo yahoo respuestas:)
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Agradezco mucho tu comentario. Saludos.
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me pueden ayudar esque mi maestra me dijo que ponga la formula de la piramide cuadrangular pero de datos solo me da L y H entonces cual es la formula y es de volumen
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Para obtener el área necesitas primero, la medida del lado porque la base es un cuadrado, es decir, sus cuatro lados son iguales y laobtienes multiplicando lado por lado; y segundo, para obtener el volumen necesitas el área de la base que se obtiene con la medida del lado y la altura de la pirámide.
La fórmula para obtener el volumen de la pirámide es área de la base por la altura entre 3. Con tus datos el área de la base es igual a lado por lado, porque es un cuadrado, entonces te queda así: volumen es igual a lado por lado por altura entre tres
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porfavor es urgente
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En el 2do. ejercicio hay un dato errado en la figura, en la parte textual, dan como dato del apotema del poliedro, 3.25576m, y en la figura dice:3.325576, lo cual lleva a un error en el resultado del Area Total de la Piramide.
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Agradezco que visites mi sitio, pero agradezco más que te tomes la molestia de hacer comentarios, sobre todo cuando hay error.
El error se ha corregido. Saludos.
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y de un cuadrado
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gracias muy buenos pero eran 5 y solo hay 3
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excelente, bien explicados y buen desarrollo. 100 % entendible
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muchas grasias por tus ejemplos aprendi demaciado. que pude hacer mi cartelera .
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muchas gracias , me sirvio de mucho 😉
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:3
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Me sirvió
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me pueden ayudar calculando una pirámide exagonal y una pirámide exagonal
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Gracias salvaron mi dia con mi tarea sobre piramides
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