Regla de tres

Regla de tres

La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres (Ver tema «razones y proporciones» y Variación directa y variación inversa» en este sitio).

Supuesto y pregunta

En una regla de tres hay dos partes: el supuesto que está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce y la pregunta que la constituyen los datos de la parte del problema que contiene la incógnita.
Ejemplo.

PROBLEMA 1.
Si 14 lápices cuestan $42.00, ¿cuánto costarán 25 lápices?
SUPUESTO: 14 lápices… $42.00,
PREGUNTA: 25 lápices… X pesos
Ejemplo.

PROBLEMA 2.
Si 5 obreros hacen una obra en 40 días, ¿cuánto tardarán 8 obreros en hacer la misma obra?
SUPUESTO: 5 obreros…40 días
PREGUNTA: 8 obreros… X días
Ejemplo.

PROBLEMA 3.
3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una barda en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?
SUPUESTO: 3 hombres…8 horas…80 metros…10 días
PREGUNTA: 8 hombres…6 horas…60 metros… X días

Tipos de Regla de tres

La regla de tres puede ser simple o compuesta.
Es simple cuando solamente dos magnitudes intervienen en ella; y es compuesta cuando intervienen tres o más magnitudes.
Ejemplo.
Regla de tres simple: Si 14 lápices cuestan $42.00, ¿cuánto costarán 25 lápices?
Las dos magnitudes que intervienen en este problema son: lápices y pesos (precio).
Regla de tres compuesta: 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una barda en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 metros de la misma obra?
Las cuatro magnitudes que intervienen son: hombres, horas, metros y días

Métodos de resolución

La regla de tres se puede resolver por tres métodos:
a) Método de reducción a la unidad.
b) Método de las proporciones
c) Método práctico

MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Este método consiste en obtener el valor de la unidad para luego con esta información, obtener el de la incógnita del problema.
Veamos ejemplos.
PROBLEMA 1. Regla de tres simple directa

Separamos la regla de tres en SUPUESTO Y PREGUNTA

Con los datos del SUPUESTO obtengo el valor de la unidad.

Sabiendo el valor de la unidad y con los datos de la pregunta obtengo la respuesta del problema.

PROBLEMA 2. Regla de tres simple inversa

Separamos la regla de tres en SUPUESTO Y PREGUNTA

Con los datos del SUPUESTO escribo las relaciones de las magnitudes para obtener el valor de la unidad.

Sabiendo el valor de la unidad y con los datos de la pregunta obtengo la respuesta del problema.

PROBLEMA 3. Regla de tres compuesta

Separamos la regla de tres en SUPUESTO Y PREGUNTA

Con los datos del SUPUESTO escribo las relaciones de las magnitudes para obtener el valor de la unidad de cada una de las cuatro magnitudes.
Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros en 10 días, 1 hombre tardará tres veces más y cinco hombres, 5 veces menos

Si en lugar de trabajar 8 horas trabajaran 1 hora diaria, tardarían 8 veces más y trabando 6 horas diarias, tardarían 6 veces menos:

Si en lugar de hacer 80 metros hicieran 1 metro tardarían 80 veces menos y para hacer 60 metros tardarían 60 veces más:

Con lo que se obtiene la respuesta al problema
METODO DE LAS PROPORCIONES
Recuerda que:
Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra; o a una disminución de una, corresponde una disminución para la otra, se dice que son directamente proporcionales (ver tema Razones y proporciones de este sitio).
Dadas dos cantidades, puede ocurrir que, a un aumento de una, disminuya la otra; o que, al disminuir una, la otra aumente. Si pasa esto se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales (ver tema Razones y proporciones de este sitio).
Recuerda también que la propiedad fundamental de las razones es: “el valor de un extremo es igual al producto de los medios entre el extremo conocido” y “el valor de un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido”. Veamos ejemplos.
Primero hay que identificar las magnitudes que intervienen en la situación y qué tipo de Regla de tres es.
PROBLEMA 1.

Como a más lápices más pesos, estas cantidades son directamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando las razones directas y se resuelve.
Por lo tanto se trata de una Regla de tres simple directa
Nos queda así:

PROBLEMA 2.
Como a más hombres menos días, estas cantidades son inversamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando la razón directa de las dos primeras con la razón inversa de las dos últimas (se cambian de posición). Por lo tanto, es una Regla de tres simple inversa
La proporción nos queda así:

PROBLEMA 3. Regla de tres compuesta

Para resolver este problema por proporciones, hay que descomponer la regla de tres compuesta en reglas de tres simples y resolverlas por separado.
En este problema la regla de tres compuesta se descompone en tres reglas de tres simples:
Primera proporción. Se trabaja con dos magnitudes: hombres y días.
A más hombres, menos días; es una proporción inversa.

Segunda proporción. Se trabaja con el dato obtenido en la proporción anterior (6 días). Las magnitudes son días y horas.
A más días, menos horas; es una proporción inversa.

Tercera proporción. Se trabaja con el dato obtenido en la proporción anterior (8 días). Las magnitudes son días y metros.
A más días, más metros; es una proporción directa.

Y se ha resuelto el problema.
MÉTODO PRÁCTICO
Primero hay que identificar las magnitudes que intervienen en la situación y qué tipo de regla de tres es.
A las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone debajo un signo más (+) y encima un signo menos (–), a las magnitudes que sean inversamente proporcionales con la incógnita se le pone debajo un signo menos (–) y encima un signo más (+) y el valor de la incógnita x será igual al valor conocido de su misma especie y siempre se le pone el signo más (+). Resolvamos los mismos ejemplos.
PROBLEMA 1.

Se escriben el supuesto y la pregunta.

Se compara cada una de las magnitudes de la pregunta con la incógnita para ver si son directa o inversamente proporcional con la incógnita.
Comparamos: A mayor número de lápices (25), mayor será el precio (mayor que $42.00). Entonces estas magnitudes son directamente proporcionales; se pone el signo más (+) debajo de los 25 lápices y el signo menos (-) encima de 14 lápices. Encima de $42.00 se pone el signo más (+)

Hecho esto, se multiplican las cantidades que llevan el signo más (+) y se divide entre la cantidad que lleva el signo menos (–) para obtener la respuesta del problema.

Por lo tanto, por 25 lápices costarán $75.00
PROBLEMA 2.

Se escriben el supuesto y la pregunta.

Se compara cada una de las magnitudes con la incógnita para ver si son directa o inversamente proporcional con la incógnita.
Comparamos: A mayor número de obreros (8), menor será la cantidad de días (menor que 40). Entonces estas magnitudes son inversamente proporcionales; se pone el signo menos (-) abajo de 8 obreros y arriba de los 5 obreros se pone más (+). Arriba de 40 días se pone más (+).

Hecho esto, se multiplican las cantidades que llevan el signo más (+) y se divide entre la cantidad que lleva el signo menos (–) para obtener la respuesta del problema.

PROBLEMA 3.

Se escriben el supuesto y la pregunta. Comparamos con la incógnita del problema que son los días que se tardarán.

Hecha la comparación y sabiendo que tipo de proporción es, se pone más (+) debajo de las magnitudes que sean directamente proporcionales, y se pone menos (-) debajo de las proporciones que sean inversas hombres y más (+) arriba.
También se pone + arriba de la incógnita.
En nuestro ejemplo queda así:

Hecho esto, se multiplican las cantidades que llevan el signo (+) y se divide entre las cantidades que llevan el signo (–) para obtener la respuesta del problema.

Por lo tanto, se necesitan 6 días para hacer 60 metros con 5 hombres trabajando 6 horas diarias.