Cuerpos geométricos. Ejemplos

 Cuerpos geométricos 

Generalidades.

Analicemos los cuerpos geométricos siguientes:
Los cuerpos geométricos están formados por varias caras.
Pueden ser poliedros regulares, poliedros irregulares y cuerpos redondos.
Veamos algunos.

Poliedro regular?

Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares iguales.
Existen cinco poliedros regulares: el tetraedro (de 4 caras), el hexaedro o cubo (de seis caras), el octaedro (de ocho), el dodecaedro (de doce) y el icosaedro (de veinte).
Veamos uno de ellos.

Cubo

 

Es un cuerpo geométrico formado por seis caras planas iguales. Cada cara es un cuadrado. Tiene 12 aristas (que son las uniones de dos caras) y 8 vértices (que son los puntos donde se unen dos o más aristas).
43_1.1
Para elaborarlo necesitas seis cuadrados iguales.
43_1.2

Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares son los prismas y las pirámides.

Prisma

Es un cuerpo geométrico que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases y varias caras laterales que son rectángulos.
El número de caras laterales, aristas y vértices depende de la forma que tengan sus bases.
Prisma triangular. Tiene 5 caras planas, 2 de ellas triangulares que son las bases; 3 caras laterales planas rectangulares, 6 vértices y 9 aristas rectas.
43_1.3
Prisma cuadrangular. Tiene 6 caras planas, 2 de ellas cuadrangulares que son las bases; 4 caras laterales planas rectangulares, 8 vértices y 12 aristas rectas.
43_1.4

Pirámide

Es un cuerpo geométrico que tiene una cara llamada base y varias caras laterales triangulares.
El número de caras laterales, aristas y vértices depende de la forma que tenga su base.
Pirámide pentagonal. Tiene 6 caras planas, 1 de ellas pentagonal que es la base; y 5 caras laterales planas triangulares, 6 vértices y 9 aristas rectas.
43_1.5
Pirámide cuadrangular. Tiene 5 caras planas, 1 de ellas cuadrangular que es la base; y 4 caras laterales planas triangulares, 5 vértices y 8 aristas rectas.
43_1.6

Cuerpos redondos

Los cuerpos redondos son el cilindro, el cono, la esfera y el toro.
Se caracterizan porque tienen caras curvas y pueden o no tener caras planas.
Veamos sus características.

Cilindro

 

Cilindro. Tiene 2 caras planas circulares que son las bases; y 1 cara lateral curva; 2 aristas curvas, y no tiene vértices.
43_1.7
Cono. Tiene 1 cara plana circular que es la base; y 1 cara lateral curva; 1 arista curva, y tiene 1 vértice.
43_1.8
Otros cuerpos redondos son: la esfera, la semiesfera y el toro. No tienen vértices.
43_1.9

Polígonos regulares. Perímetro y área

Polígono regular

Recordemos que un polígono es regular cuando todos sus lados son iguales y todos sus ángulos también lo son. Es irregular si no cumple con estas condiciones.
poligonosreg1.1
poligonosreg1.2

Nombres de polígonos regulares

Tres lados………..triángulo o trígono
Cuatro lados……cuadrado o tetrágono
Cinco lados…….pentágono
Seis lados………hexágono
Siete lados……heptágono o septágono
Ocho lados……octágono
Nueve lados…..nonágono o eneágono
Diez lados…….decágono
Once lados…..endecágono o undecágono
Doce lados….dodecágono
Trece lados….tridecágono
Catorce lados…tetradecágono
Quince lados….pentedecágono
Dieciséis lados……hexadecágono
Diecisiete lados….heptadecágono
Dieciocho lados….octadecágono
Diecinueve lados…eneadecágono
Veinte lados…icoságono
Treinta lados….triacontágono
cuarenta lados…..tetracontágono
100 lados….hectágono
1000 lados…..chiliágono
10,000  lados…..miriágono
1 000 000 lados ……megágono
poligonosreg1.3

Diagonales

Se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos o contiguos.
Si desde un vértice cualquiera se trazan todas las diagonales posibles, siempre habrá tres vértices a los cuales no se puede trazar diagonal: el vértice desde el cual se trazan las diagonales y los dos vértices contiguos (con los que se forman lados).
poligonosreg1.5
Por ello, el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice es igual al número de lados menos 3.
poligonosreg1.6
poligonosreg1.7

Número total de diagonales de un polígono regular

Se puede obtener con la fórmula
poligonosreg1.9
Donde n es igual a número de vértices. Ejemplo del pentágono D=5(5-3)/2 D= 5 x 2 /2 d=10/2=5

Elementos de un polígono regular

Centro
Es su punto interior que equidista de cada vértice, es decir, la distancia del centro a cualquiera de sus vértices es igual, así como la distancia a cualquiera del centro de sus lados.

poligonosreg1.8

Radio
Es el segmento que va del centro a cada vértice. Se identifica con la letra r
poligonosreg2.1
Apotema
Distancia del centro al punto medio de cada lado, se identifica con la letra a. Es la altura de cualquiera de los triángulos iguales en los que se puede descomponer el polígono, considerando el lado como base.
poligonosreg2.2

Perímetro del polígono regular

Es la suma de los valores de sus lados.
Cuando el polígono es regular, como todos sus lados son iguales, el perímetro se obtiene multiplicando el valor de un lado por el número de lados que tiene el polígono.
poligonosreg1.4

Área del polígono regular

Si del centro se trazan radios a todos sus vértices, el polígono queda dividido en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono.
poligonosreg2.3
El área del polígono será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos.
Si el lado del polígono se nombra l y la altura de cada triángulo es el apotema del polígono identificada como a, el área de cada uno de los triángulos será:
poligonosreg2.4
Si el polígono tiene n lados, el número de triángulos que se formarán será igual a n.
Entonces:
poligonosreg2.5
Pero n x l significa el número de lados (n) por el valor de un lado (l) del polígono; que si recuerdas, es la fórmula para obtener el perímetro del polígono regular.
Por eso la fórmula que se utiliza para obtener el área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por el apotema
poligonosreg2.6
poligonosreg2.7

Ejemplos resueltos

poligonosreg2.8
poligonosreg2.9
poligonosreg3.1

Ejercicios resueltos. Cómo construir un trapecio

Trapecio

El trapecio es una figura irregular que tiene dos bases.
trazos_trapecio1.1

Construcción de un trapecio con instrumentos geométricos

DADAS LAS MEDIDAS DE SU BASE MAYOR (6 cm) Y SU ALTURA (3 cm).
Traza el segmento AB que corresponde a la base mayor, en este caso de 6 cm
trazos_trapecio1.2
Con escuadra y cartabón, levanta la perpendicular del segmento AB por su punto medio y con la medida de la altura, en este caso, 3cm. Pon en sus extremos las letras M y P.
trazos_trapecio1.3
Obtén la medida de la base menor (en este caso 3 cm) considerando la mitad de la base mayor (que en este caso mide 6 cm) y centrando la mitad de esta medida en P, traza el segmento de 3 cm y marca sus extremos con las letras D y C
trazos_trapecio1.4
Une A con D y B con C
trazos_trapecio1.5
El trapecio ha quedado construido.
trazos_trapecio1.6

Ejercicios resueltos. Cómo construir un rectángulo

Rectángulo

CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO DADAS LAS MEDIDAS DE LA BASE Y SU LADO.
5 CM Y 3 CM
Traza el segmento base AB con la medida más grande, en este caso, 5cm.
trazos_rec1.1
Levanta la perpendicular del segmento AB en su extremo A.
trazos_rec1.2
Abre el compás con la medida del lado, en este caso, 3 cm y apoyando con centro en A, corta con un arco la perpendicular de AB. El punto donde se corta la perpendicular, es el vértice del rectángulo. Márcalo con la letra D.
trazos_rec1.3
trazos_rec1.31
Con la misma abertura del compás y apoyando con centro en B, traza un arco hacia arriba.
trazos_rec1.4
Abre tu compás con la medida del segmento AB y apoyando el compás con centro en D, traza un arco que corte al arco trazado desde B. El punto donde se cortan los arcos, es el cuarto vértice del rectángulo. Márcalo con la letra C
trazos_rec1.5
Une los cuatro puntos para terminar la construcción del rectángulo.
trazos_rec1.6

Ejercicios resueltos.Cómo construir un romboide

Romboide

CONSTRUCCIÓN DE UN ROMBOIDE

trazos_romboide1.1
DADAS LAS MEDIDAS DE SUS LADOS Y EL ÁNGULO: BASE 7 CM, LADO 3 CM Y ÁNGULO 40°

Traza el segmento AB que será la base del romboide, en este caso, de 7 cm.
trazos_romboide1.2
Con el transportador centrado en A, traza el ángulo de 40°
trazos_romboide1.3
Abre el compás con la medida del lado del romboide, en este caso, 3 cm
trazos_romboide1.4
Apoyando el compás con centro en A, traza un arco que corte el lado del ángulo. El punto donde se cruzan es el vértice del romboide. Ponle la letra D.
trazos_romboide1.5
Con la misma abertura del compás, traza un arco superior apoyando con centro en B
trazos_romboide1.6
Abre el compás con la medida del segmento AB
trazos_romboide1.7
Apoyando con centro en D, traza un arco que corte al que se trazó anteriormente. El punto donde se intersectan los arcos es el cuarto vértice del romboide. Márcalo con la letra C
trazos_romboide1.8
Une los vértices D con C,
trazos_romboide1.9
Y B con C para que quede construido el romboide.
trazos_romboide2.1

Ejercicios resueltos. Cómo construir un rombo

Rombo

Recuerda que un rombo es una figura irregular que tiene todos sus lados iguales, dos ángulos internos agudos y dos ángulos obtusos.
rombo

Construcción de un rombo

DADAS LAS MEDIDAS DE SUS DIAGONALES: 8 CM Y 5 CM
Traza el segmento de recta AB que es igual a la diagonal mayor, en este caso 8 cm.
Señala el punto medio del segmento AB con la letra M
trazos_rombo1.2
Abre el compás con una abertura menor que el segmento AM
trazos_rombo1.3
Traza dos arcos que corten al segmento AM y al segmento MB. Ponles las letras P y Q

trazos_rombo1.31

Abre el compás un poco más que el segmento PM.
trazos_rombo1.4
Apoyando con centro en P traza dos arcos, uno arriba y otro abajo del segmento AB.
trazos_rombo1.5
Con la misma abertura del compás y apoyando con centro en Q, traza otros arcos arriba y abajo del segmento AB y que corten a los arcos trazados anteriormente.
trazos_rombo1.6
Levanta la perpendicular del segmento AB que pasa por los puntos donde intersectan los arcos superiores e inferiores
trazos_rombo1.7
Sobre esa perpendicular y centrando en M, marca con dos puntos la medida de la diagonal menor, en este caso 5 cm. Ponle las letras C y D
trazos_rombo1.8
Une los cuatro puntos para que quede construido el rombo.
trazos_rombo1.9

Ejercicios resueltos. Trazo de un triángulo escaleno

Triángulo escaleno

Recuerda que un triángulo escaleno es el que tiene sus tres lados desiguales. La suma de sus tres ángulos internos siempre es igual a 180°
trazos_esc1.1
Puedes construir triángulos escalenos si la medida de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercer lado.
trazos_esc1.2

Trazo con regla y compás dadas las medidas de sus lados

MEDIDAS DE SUS LADOS: 5, 8 Y 10 CMS.
Traza el segmento AB que tendrá la medida mayor de las tres dadas, en este caso, 10 cm. Marca sus extremos con los puntos A del lado izquierdo, y B del lado derecho.
trazos_esc1.3
Ahora abre el compás del tamaño de la segunda medida, en nuestro caso, 8 cm y apoyando el compás con centro en A, marca un arco que corte al segmento AB.
trazos_esc1.4
Toma tu compás nuevamente y ábrelo del tamaño de la tercera medida, la más pequeña, en nuestro caso 5 cm y apoyando el compás con centro en B, traza otro arco que corte al segmento AB y al arco trazado.
trazos_esc1.5
El punto donde se cortan los arcos será el tercer vértice del triángulo escaleno. Márcalo con la letra C. Une los tres puntos y el triángulo escaleno estará construido.
trazos_esc1.6

Trazo con transportador y regla

CONOCIENDO LA MEDIDA DE DOS LADOS Y LA MEDIDA DEL ÁNGULO QUE FORMAN.
Longitud de los lados: 10 y 8 cm con un ángulo de 50°
Inicia marcando con el transportador el ángulo de 50° en el segmento base AB que será la medida mayor de las dos conocidas, en nuestro caso 10 cm; y tomando como centro el extremo A
trazos_esc1.7
Partiendo del punto A y hasta el punto donde se marcaron los 50°, traza un segmento de la medida de la segunda longitud conocida, en nuestro caso 8 cm.
trazos_esc1.8
Marca el extremo derecho de este segmento con la letra C, será el tercer vértice del triángulo escaleno. Une el punto C con el punto B y el triángulo escaleno quedará construido.
trazos_esc1.9

Trazo con regla, transportador y compás

CONOCIENDO LA MEDIDA DE DOS LADOS Y LA MEDIDA UN ÁNGULO.
Lados de 6 y 3 cm y ángulo de 30°
Con la regla traza como base el segmento AB con la medida mayor, en este caso, 6cm.
trazos_esc2.1
Con centro en A marca el ángulo de 30° y marca un segmento de cualquier medida.
trazos_esc2.2
Abre el compás con la medida del segundo lado conocido, en este caso 3cm y apoyando en B marca un arco que corte al segmento del ángulo.
trazos_esc2.3
El punto donde se corta el segmento del ángulo será el tercer vértice del triángulo escaleno. Márcalo con C. Une a con B con C y el triángulo escaleno estará construido.
trazos_esc2.4

Trazo con regla y transportador

CONOCIENDO LA MEDIDA DE UN LADO Y LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS ADYACENTES.

LADO 6 CM Y ÁNGULOS DE 30° Y 50°
Dibuja el segmento AB con la medida conocida, en este caso 6 cm.
trazos_esc2.5
Con centro en A marca con un punto el ángulo de 30° y dibuja un segmento con una medida cualquiera que pase por el punto.
trazos_esc2.6
Con centro en B marca con un punto el segundo ángulo conocido, en este caso 50° y marca un segmento de cualquier medida que pase por el punto.
El punto donde se corten los dos segmentos trazados, es el tercer vértice del triángulo escaleno

trazos_esc2.7

Ejercicios resueltos. Construcción de triángulos isósceles

Triángulo isósceles

Recuerda que el triángulo isósceles es el que tiene dos lados iguales.
trazosisós1.9
Traza el segmento base (9 cm) y marca sus extremos con las letras A y B
trazosisós1.1

Marca el punto medio del segmento AB con la letra P
trazosisós1.2

Con el compás abierto con una medida menor al segmento AP (menor que 4.5), corta con dos arcos el segmento AB y marca con las letras Q y R
trazosisós1.3

Apoyado en Q y con una abertura del compás igual a AP (4.5 cm), traza el arco superior y el inferior como marca la figura.
trazosisós1.4

Realiza trazos semejantes a los anteriores apoyando en R.

trazosisós1.5
Traza la perpendicular que pase por el punto P y los obtenidos donde se cortan los arcos.
trazosisós1.6

Desde el punto A hasta la perpendicular del punto medio, mide la longitud del lado del triángulo (11 cm).
trazosisós1.7

Después traza el otro lado desde B.
trazosisós1.8

Haz trazado tu triángulo isósceles.
trazosisós1.9 

Triángulo isósceles con regla y compás

Ejemplo: base de 5 cm y lado de 8 cm
Traza el segmento AB que será la base del triángulo isósceles (ejemplo 5 cm).
trazosisós2.1

Abre el compás con la medida que tendrán los lados iguales del triángulo isósceles (ejemplo 8 cm).
trazosisós2.2

Apoyando el compás en A, traza un arco como muestra la figura.
trazosisós2.3

Después, apoyando en B, traza otro arco como muestra la figura
trazosisós2.4

Marca con la letra C el punto donde se cortan los arcos trazados. Éste será el tercer vértice del triángulo.
trazosisós2.5

Ahora une A con C y B con C.
trazosisós2.6

Haz trazado tu triángulo isósceles.

trazosisós2.7

Ejercicios resueltos. Construcción de triángulos equiláteros

Triángulo equilátero

Recuerda que el triángulo equilátero es un polígono regular porque tiene sus tres lados y sus tres ángulos internos iguales.

triángulo_equilátero
Veamos cómo puedes trazar triángulos equiláteros con instrumentos geométricos.

Trazo de un triángulo equilátero con regla y compás

Traza el segmento AB que será la base del triángulo (ejemplo 6 cm).
trazosequilátero3.5

Abre el compás tanto como mide el segmento base (5 cm).
trazosequilátero3.6

Apoyando el compás en A, traza un arco como muestra la figura
trazosequilátero3.7

Apoyando en B, traza otro arco como muestra la figura
trazosequilátero3.8

Marca con la letra C el punto donde se cortan los arcos trazados. Éste será el tercer vértice del triángulo.
trazosequilátero3.9

Ahora une A con C y B con C. Haz trazado tu triángulo equilátero.
trazosequilátero4.1

trazosequilátero4.11

 

Trazo de triángulo equilátero con el cartabón

Traza el segmento AB que será la base del triángulo

trazosequilátero5.2
Alinea la esquina inferior derecha del cartabón (ángulo de 60°), con el punto B del segmento AB y traza un segmento.
trazosequilátero5.3

Voltea el cartabón y alinea su esquina inferior izquierda (ángulo de 60°), con el punto A del segmento AB y traza otro segmento.
trazosequilátero5.4

Comprueba la medida de los lados.
trazosequilátero5.41

Borra la parte del segmento BC que sobra. Haz trazado tu triángulo equilátero (en el cual, cada uno de los tres ángulos internos mide 60°).
trazosequilátero5.411

Trazo del triángulo equilátero con regla y transportador

Traza el segmento AB que será la base del triángulo.
trazosequilátero5.5

Apoyando el centro del transportador en el extremo A del segmento AB, marca el punto donde se encuentran los 60°, ponle la letra C
trazosequilátero5.6

Ayudado con una regla. Marca el segmento desde A y que pase por C.
trazosequilátero5.61

Desde B traza un segmento que mida igual a la base hasta el punto donde coincida con el segmento trazado en los 60°.
trazosequilátero5.7
Borra lo que sobre del segmento AC. Haz trazado el triángulo.
trazosequilátero5.71

Ejercicios resueltos. Construcción de ángulos

Trazo de ángulos con instrumentos geométricos

Utiliza regla y transportador

Apoyándote en una regla, traza la semirrecta que será el lado inicial del ángulo
trazos2.3

Identifica el centro del transportador, el cero de la escala y el origen de la semirrecta que es el lado inicial del ángulo.

trazos2.4
Coloca el transportador sobre la línea, haciendo que coincida el inicio de la semirrecta con el centro del transportador y el otro extremo, con el cero de la escala.
trazos2.5

Con ayuda de una regla y partiendo del origen de la semirrecta original del ángulo y del centro del transportador, ubica los grados que va a medir el ángulo en la escala interior del transportador y marca un punto al margen del transportador. Ejemplo 60 °
trazos2.6

Retira el transportador y con ayuda de la regla, traza la semirrecta final del ángulo haciendo que coincida el origen de la semirrecta inicial del ángulo con el punto que trazaste con tu lápiz. Dale la medida necesaria, el punto sólo es la referencia.
trazos2.7

Haz trazado un ángulo de 60°
trazos2.8

Ejemplos de trazos de ángulos utilizando la escala interior y la escala exterior del transportador.
trazos2.9