Volumen de la pirámide. Fórmula explicada

Explicación  de la fórmula para obtener el volumen de una pirámide.

Trataré de ser lo más clara posible.

A veces tenemos la duda de por qué para obtener el volumen de una pirámide regular hay que dividir entre 3.

Esta situación está relacionada con el volumen de un prisma. Todos los prismas se pueden dividir en prismas triangulares, y de un prisma triangular es de donde parto para explicar la fórmula de las pirámides regulares. Recuerda que el prisma es un cuerpo geométrico que tiene dos bases.

exp_pir_1Aquí sustituí el área de la base por la fórmula b x h ÷ 2,  porque la base del prisma es un triángulo y ésta es la fórmula utilizada para obtener su área.

Ahora identifiquemos las base y la altura del prisma. Generalmente la altura del prisma se marca una vez, yo la señalo en tres partes diferentes con la finalidad de que quede más clara la idea.

exp_pir_2

 

Con esta información, voy a dividir el prisma triangular en tres cuerpos que tengan las mismas medidas en su base y en su altura, y por tanto, el mismo volumen. Cada uno de estos cuerpos tiene una base triangular  y una altura igual a las otras dos,  son pirámides triangulares.

exp_pir_3

Lo que hice fue dividir el prisma en tres pirámides con el mismo volumen, es decir que cada pirámide tiene un tercio del volumen del prisma.

exp_pir_4

Al inicio obtuve el volumen del prisma triangular, el cual fue 21 centímetros cúbicos. Si divido este volumen entre las tres pirámides, a cada pirámide le corresponden 7 cm cúbicos.

exp_pir_5

exp_pir_6

Considerando que todos los prismas se pueden dividir en prismas triangulares y que en  un prisma triangular caben tres pirámides con el mismo volumen,  puedes tener claro el por qué en la fórmula para obtener el volumen de la pirámide se divide entre 3.

exp_pir_7

Obtener la longitud de un arco de circunferencia.

Longitud de un arco de circunferencia

Recuerda que la circunferencia es el conjunto de todos los puntos que limitan al círculo, que es el área que queda dentro de la circunferencia.

arco_circunferencia1-1
En este espacio vamos a trabajar con el arco de la circunferencia, que es una porción de la circunferencia.

arco_circunferencia1-2
Para obtener la longitud de un arco de la circunferencia utilizamos las medidas del radio y del ángulo central.
Recuerda que el radio es la mitad de un diámetro y un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de ella.

arco_circunferencia1-3
También utilizamos la fórmula para obtener la longitud de toda la circunferencia (que identificamos como L):

arco_circunferencia1-4
Y cuando se obtiene la longitud de la circunferencia, la cual corresponde a 360°, con una regla de tres se obtiene la longitud del arco.
Resolvamos ejemplos.
1. Obtener la longitud de un arco de circunferencia cuyo ángulo central mide 82° y su radio 3.41 cm.

arco_circunferencia1-5
Por lo tanto, la longitud del arco del ángulo central de 82° mide 4.876cm.
2. Obtener la longitud de un arco de circunferencia cuyo ángulo central mide 50° y su radio 4 cm.

arco_circunferencia1-6
Por lo tanto, la longitud del arco del ángulo central de 50° mide 3.488cm.
3. Obtener la longitud de un arco de circunferencia cuyo ángulo central mide 30° y su radio 8 cm.

arco_circunferencia1-7
Por lo tanto, la longitud del arco del ángulo central de 30° mide 4.186 cm.
Se puede dar el caso en el que conociendo las medidas del arco y del radio, se te pida obtener la medida del ángulo central.
Si este es el caso, lo resolvemos con una regla de tres:

arco_circunferencia1-8
Resolvamos ejemplos.
1. Obtener la longitud del ángulo central del arco cuya longitud es 4.876 cm y el radio de 3.41 cm.
 
arco_circunferencia1-9
Por lo tanto, el ángulo central mide 82°
2. Obtener la longitud del ángulo central del arco cuya longitud es 3.48 cm y el radio 4 cm.

arco_circunferencia1-10
Por lo tanto, ángulo central mide 50°
3. Obtener la longitud del ángulo central del arco cuya longitud es 4.186 cm y el radio 8 cm.

arco_circunferencia1-11
Por lo tanto, el ángulo central mide 29.99°
Puede ser que lo que se desconozca sea el radio. Para obtener su medida despejas el valor de r de la fórmula y usas una regla de tres con las medidas del ángulo central conocido, la longitud del arco y los 360° para conocer la medida de la circunferencia.
Veamos los ejemplos siguientes:

arco_circunferencia1-12

Ángulos en los triángulos

Ángulos en los triángulos

Antes de empezar con este tema recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° (fig.1)

ang_int_tri_1

También es importante que tengas presente que la suma de los ángulos suplementarios es igual a 180°.

Los ángulos suplementarios se forman prolongando los lados.(fig. 2)

ang_int_tri_2

Ahora pasemos al tema. Vamos a obtener la medida de ángulos que se encuentran en los triángulos.

Ejercicio 1.-

En la siguiente imagen, ¿Cuál es el valor del ángulo x?
(Fig. 3)

ang_int_tri_3

Para saber el valor de x partimos del triángulo de la izquierda, del cual conocemos la medida de dos de sus ángulos.
Sabiendo que los ángulos internos del triángulo suman 180°, el ángulo c será igual a 180 menos la suma de los ángulos b y d (Fig. 4).

ang_int_tri_4

Sabiendo que c es igual a 60° y que es suplementario con el ángulo que tiene a la derecha y que pertenece al segundo triángulo, podremos obtener el valor de x.
Llamemos a este ángulo con la letra e.
Si a 180 le quito el valor de c, que es 60°, obtengo el valor del ángulo e, que es 120°
(fig: 5)

ang_int_tri_5

Y sabiendo este valor, conozco dos ángulos del triángulo de la derecha, d que vale 30° y e que vale 120°.
Si sumo estos valores y el resultado lo resto a 180° que es el valor de la suma de los tres ángulos internos del triángulo, obtengo el valor del tercer ángulo designado con x (Fig. 6).

ang_int_tri_6

Una forma muy sencilla de obtener también el valor de “x” es la siguiente:
Los ángulos “a”, “b” y ”d” son los tres ángulos del triángulo mayor, sin considerar los dos triángulos en los que se divide. Quiere decir que “a” más “b” más “d” es igual a 180°
Observa que “a” se forma con “a” más “x”, por lo que los 180° se obtienen sumando “a” más “x” más “b” más “d”.
El valor de “x” lo obtenemos de la siguiente manera (Fig. 7)

ang_int_tri_7

Ejercicio 2.-

En la siguiente imagen se intersectan líneas paralelas y líneas perpendiculares. ¿Cuál es el valor del ángulo “x”?
(Fig. 8)

ang_int_tri_8
Para resolverlo partimos del triángulo formado por las líneas y señalado en verde en la siguiente imagen y consideramos el ángulo de 90° formado por las líneas perpendiculares al que llamaremos ángulo “a” y el ángulo “b”, que se indica que vale 61°. Con estas medidas obtenemos el valor del ángulo “c” (Fig. 9)

ang_int_tri_9

Marcamos el ángulo “d”, que es suplementario al ángulo “c”, y sabiendo que juntos deben sumar 180°, “d” vale “151° (Fig. 10).

ang_int_tri_10

Con este valor podemos obtener el de “x” sabiendo que éste y “d” son suplementarios.
“x” es igual a 29° (Fig. 11)

ang_int_tri_11

Ejercicio 3.-

Ahora tenemos otro ejercicio de ángulos internos (fig. 12).

ang_int_tri_12

Primero hay que identificar cuál es el ángulo mayor, el ángulo mediano y el ángulo menor.
(fig. 13)

ang_int_tri_13

Sabiendo esto, procedemos a obtener el valor de los dos ángulos que se desconocen.
Llamamos “x” al ángulo menor, por lo tanto, el ángulo mayor llamado “c” vale 5x.
Es decir que “x” más “5x” más 45° suman 180°
(Fig. 14).

ang_int_tri_14

Es así como se obtiene el valor de cada uno de los tres ángulos internos de este triángulo.

Problemas de Perímetro y área.

Problemas de perímetro y área

Resolver los siguientes problemas.
1. Hallar el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado vale 8.62 cm.
peri_area_1.1
2. Hallar el perímetro y el área de un paralelogramo cuya base mide 30 cm y su altura mide 20 cm
peri_area_1.2
3. Hallar el perímetro y el área de un triángulo sabiendo que la base mide 6.8m y la altura 9.3m
peri_area_1.3
4. Hallar el valor del lado de un cuadrado cuya área vale 28.09 m². Después obtener su perímetro.
peri_area_1.4
5. La diagonal de un rectángulo mide 10 m y su altura 6m. Hallar su perímetro y su área.5
peri_area_1.5
6. En un rectángulo ABCD, la diagonal AC es igual a 50 cm y la base AB es igual a 40 cm. Hallar perímetro y área del rectángulo.
peri_area_1.6
7. Hallar el área y el perímetro de un triángulo equilátero de 8cm de lado
peri_area_1.7