Ángulos en los triángulos

Ángulos en los triángulos

Antes de empezar con este tema recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° (fig.1)

ang_int_tri_1

También es importante que tengas presente que la suma de los ángulos suplementarios es igual a 180°.

Los ángulos suplementarios se forman prolongando los lados.(fig. 2)

ang_int_tri_2

Ahora pasemos al tema. Vamos a obtener la medida de ángulos que se encuentran en los triángulos.

Ejercicio 1.-

En la siguiente imagen, ¿Cuál es el valor del ángulo x?
(Fig. 3)

ang_int_tri_3

Para saber el valor de x partimos del triángulo de la izquierda, del cual conocemos la medida de dos de sus ángulos.
Sabiendo que los ángulos internos del triángulo suman 180°, el ángulo c será igual a 180 menos la suma de los ángulos b y d (Fig. 4).

ang_int_tri_4

Sabiendo que c es igual a 60° y que es suplementario con el ángulo que tiene a la derecha y que pertenece al segundo triángulo, podremos obtener el valor de x.
Llamemos a este ángulo con la letra e.
Si a 180 le quito el valor de c, que es 60°, obtengo el valor del ángulo e, que es 120°
(fig: 5)

ang_int_tri_5

Y sabiendo este valor, conozco dos ángulos del triángulo de la derecha, d que vale 30° y e que vale 120°.
Si sumo estos valores y el resultado lo resto a 180° que es el valor de la suma de los tres ángulos internos del triángulo, obtengo el valor del tercer ángulo designado con x (Fig. 6).

ang_int_tri_6

Una forma muy sencilla de obtener también el valor de “x” es la siguiente:
Los ángulos “a”, “b” y ”d” son los tres ángulos del triángulo mayor, sin considerar los dos triángulos en los que se divide. Quiere decir que “a” más “b” más “d” es igual a 180°
Observa que “a” se forma con “a” más “x”, por lo que los 180° se obtienen sumando “a” más “x” más “b” más “d”.
El valor de “x” lo obtenemos de la siguiente manera (Fig. 7)

ang_int_tri_7

Ejercicio 2.-

En la siguiente imagen se intersectan líneas paralelas y líneas perpendiculares. ¿Cuál es el valor del ángulo “x”?
(Fig. 8)

ang_int_tri_8
Para resolverlo partimos del triángulo formado por las líneas y señalado en verde en la siguiente imagen y consideramos el ángulo de 90° formado por las líneas perpendiculares al que llamaremos ángulo “a” y el ángulo “b”, que se indica que vale 61°. Con estas medidas obtenemos el valor del ángulo “c” (Fig. 9)

ang_int_tri_9

Marcamos el ángulo “d”, que es suplementario al ángulo “c”, y sabiendo que juntos deben sumar 180°, “d” vale “151° (Fig. 10).

ang_int_tri_10

Con este valor podemos obtener el de “x” sabiendo que éste y “d” son suplementarios.
“x” es igual a 29° (Fig. 11)

ang_int_tri_11

Ejercicio 3.-

Ahora tenemos otro ejercicio de ángulos internos (fig. 12).

ang_int_tri_12

Primero hay que identificar cuál es el ángulo mayor, el ángulo mediano y el ángulo menor.
(fig. 13)

ang_int_tri_13

Sabiendo esto, procedemos a obtener el valor de los dos ángulos que se desconocen.
Llamamos “x” al ángulo menor, por lo tanto, el ángulo mayor llamado “c” vale 5x.
Es decir que “x” más “5x” más 45° suman 180°
(Fig. 14).

ang_int_tri_14

Es así como se obtiene el valor de cada uno de los tres ángulos internos de este triángulo.

Desafío 1. Cuarto grado.

Los libreros

APRENDIZAJE ESPERADO: Uses la descomposición aditiva y multiplicativa de los números al resolver problemas.

consigna
En parejas, resuelvan los problemas.
1.- El tío de Sebastián quiere comprar uno de estos libreros:
1_1.1
a) ¿Cuál de los tres libreros tiene más descuento?
Para contestar la pregunta anterior, primero tienes que obtener el descuento que tiene cada librero y después comparar las cantidades que te resulten
Veamos el ejemplo con el primer librero:
1_1.2
¿Cuál es el valor original del librero? ¿A qué precio te lo dejan? ¿Cuál es la diferencia entre estas cantidades?
1_1.3
Haz lo mismo con los otros dos libreros.
1_1.4
b) Por la información de los carteles sabemos que el costo se puede cubrir en pagos semanales. ¿Cuántos pagos semanales tendría que hacer el tío de Sebastián para comprar el librero Modelo 15A?
Según el cartel puedes hacer pagos de $100.00
1_1.5
Para saber cuántos pagos de $100.00 tiene que hacer el tío de Sebastián, hay que saber cuántas veces cabe el 100 en $2 890.00 que es lo que cuesta el librero.
1_1.6
¿De cuánto sería el último pago?
Es la cantidad que te sobra en tu división, ya que no es una división exacta.
c) ¿Con cuál de los tres libreros tendría que hacer más pagos?
Ya sabes cuántos pagos se tendrían que hacer por el librero 15A, ahora haz las operaciones para saber los pagos que hay que hacer por el librero AB y por el librero A28
1_1.7
2. Al hacer cuentas, el tío de Sebastián vio que podía pagar el librero en menos tiempo si cada semana pagaba lo equivalente a dos, tres y hasta cuatro pagos juntos. ¿A qué librero corresponde cada forma de pago que hizo el tío de Sebastián?

1_1.8

Resolvamos la primera forma:
1_1.9
Ahora resuelve las dos formas que faltan.
1_2.1
3. A continuación se muestran las cuentas que hizo el tío de Sebastián, anoten los números que faltan para completar cada cálculo.
Te puedes guiar con las operaciones que realizaste anteriormente.
1_2.2

Desafío 12. Sexto grado.

Se ven de cabeza

APRENDIZAJE ESPERADO: Reafirmes los aprendizajes relacionados con los ejes de simetría y relaciones el concepto eje de simetría con la línea que permite ver una figura no poligonal y su reflejo
Muchas veces has visto imágenes reflejadas en el agua. En este caso, la línea que separa la imagen real del  reflejo en el agua, es el eje de simetría.

Observa como el reflejo se ve de cabeza.

12_1.4
En este ejercicio vas a reflejar una imagen de manera parecida.

Consigna

Individualmente completa la imagen de modo que parezca que los dibujos se ven reflejados en el agua.
Te muestro cómo se vería reflejado en un espejo el primer pino. Sigue el ejemplo para reflejar la imagen completa. Fíjate que la reproducción de la imagen se inicia de abajo hacia arriba (del tronco hacia el follaje) y en la hoja de arriba hacia abajo (de cabeza).

Pon en práctica lo que aprendiste en el desafío anterior.

Y recuerda considerar siempre el tamaño, la forma y la posición de todos los elementos de la imagen, en tu reproducción.

12_1.1
Sigue el mismo procedimiento para reflejar las figuras de los ejercicios 2 y 3.
Considera si el reflejo es hacia abajo o hacia la derecha y cuenta las unidades cuadradas que utiliza cada imagen.

Desafío 11. Sexto grado

¿Cómo lo doblo?

APRENDIZAJE ESPERADO: Relaciones el concepto de eje de simetría con la línea que, al hacer un doblez, permite obtener dos partes que coinciden en todos sus puntos;  e identifiques los ejes de simetría de una figura.
Empecemos por entender qué es la simetría:
La simetría en una imagen se manifiesta cuando hay correspondencia exacta en tamaño, forma y posición de las partes de un todo.
11_1.93
Es fácil de reconocer porque una mitad es la imagen en un espejo, de la otra mitad de la figura.
Imagina que a la mitad de la mariposa colocas un espejo, la imagen que se reflejaría en el espejo sería la que se ve en la parte sombreada. Date cuenta que  la mariposa se ve completa aunque sólo se refleje la mitad. Esto es la simetría.

11_1.94
La recta que divide la figura en dos partes iguales recibe el nombre de eje de simetría.
11_1.95
El eje de simetría no necesariamente debe ser vertical u horizontal, puede ir en cualquier dirección, siempre y cuando divida a la figura en dos partes iguales en tamaño, forma y posición.
11_1.99
Si las figuras no son perfectamente simétricas, la imagen cambia.
11_1.96
Fíjate como el payaso es aparentemente perfectamente simétrico, pero si coloco el espejo a la mitad de la imagen, obtengo los siguientes reflejos ya que en las manos hay diferentes objetos.

El reflejo de la mitad izquierda de la imagen es ésta.

12_1.2

El reflejo de la mitad derecha de la imagen es ésta.

.12_1.3

La simetría existe entre la figura y la imagen reflejada en el espejo.

Cuando observes imágenes para decir si tienen o no  simetría, y cuántos ejes tienen, considera siempre la  forma, el tamaño y la posición de todos los elementos quelas  integran.

Ahora que has visto ejemplos de simetría, pasemos al desafío.

Consigna 1

Recorta las figuras de las páginas 175 y 177 y después dóblalas de manera que las dos partes coincidan completamente. Marca con color el doblez o los dobleces que te permiten lograr esto.

Pudiste encontrar algunos de estos ejes de simetría en tus dobleces.

11_1.92

Una figura que en ocasiones causa confusión es el rectángulo, el cuál sólo tiene dos ejes de simetría: el vertical y el horizontal.

En estos casos, si reflejas en un espejo una mitad con el eje horizontal, el rectángulo se ve completo y correcto en cuanto a tamaño, forma y posición.

11_1.81
Lo mismo sucede cuando se refleja con el eje vertical

11_1.82
Pero no sucede esto cuando lo reflejas con el eje inclinado. No se forma el rectángulo. Por ello en esta posición no hay simetría.

11_1.83
Las figuras que no tienen simetría:
11_1.91

Consigna 2

En equipo determinen si las siguientes figuras tienen o no ejes de simetría; en caso de que lo tengan, anoten cuántos son.

Recuerda lo que has visto hasta ahora sobre la simetría.

Te voy a presentar las imágenes que resultan al reflejar cada mitad de las imágenes (con ejes vertical, horizontal e inclinado) y tú decide cuándo hay simetría. Compara siempre los elementos de la mitad original y los elementos de la mitad reflejada en el espejo.

La imagen del árbol.

11_1.1El vaso:

11_1.2

El jarrón:

11_1.3

La mano:

11_1.4

La hoja:

11_1.5

La piñata:

11_1.6

11_1.61     11_1.62

11_1.63  11_1.64

La escalera:

11_1.71    11_1.72

Ángulos.

Ángulos

Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice.

Las semirrectas se llaman lados. Uno es el lado inicial y otro el lado final.

ángulo1

Un ángulo se puede designar de tres maneras:

  1. Con tres letras mayúsculas. Se colocan  en los lados y en el vértice. Al leer el ángulo, la letra que le corresponde al vértice queda siempre en medio de las otras dos. ángulo2
  2. Con una sola letra mayúscula. La letra se escribe fuera del vértice .ángulo3
  3. Con una letra minúscula, frecuentemente griega, que se escribe dentro del ángulo y cerca del vértice. Esta forma se utiliza para evitar confusiones en casos en que dos o más ángulos tienen el vértice común.

ángulo4

La palabra ángulo a veces se sustituye por una abertura pequeña que se pone antes de las letras mayúsculas, o arriba de éstas.

ángulo4.1

Medida de un ángulo

Para medir un ángulo se usa como unidad un ángulo que mide un grado.

Imagina que la circunferencia se divide en 360 partes iguales. Si desde el centro se trazan radios a cada uno de los puntos de la división, se forman 360 ángulos iguales, siendo cada uno de ellos, un ángulo de un grado. Este grado  se  llama grado sexagesimal.

ángulo5

Para saber el valor de un ángulo cualquiera hay que determinar el número de grados que gira la semirrecta que lo genera.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos es el transportador.  El más usual tiene forma de semicírculo.

ángulo15

Antes de usar un transportador, es indispensable localizar su centro. Se encuentra en el punto medio de la recta o diámetro que va de del cero de la escala a la división 180°. No siempre coincide  el diámetro con el borde de los transportadores.

ángulo16

Para medir un ángulo cualquiera, se coloca el centro del transportador en el vértice del ángulo, y el diámetro se hace coincidir con uno de los lados.

ángulo17

Si el transportador es demasiado grande para la medición de un ángulo, se prolongan los lados de éste.

ángulo18

La mayoría de los transportadores tienen dos escalas marcadas de 10° en 10°, que parten de los extremos del mismo.

ángulo19

De este modo se puede medir un ángulo a partir de cualquiera de los extremos del transportador.

ángulo20

Para trazar un ángulo, el transportador se coloca de la misma forma que para la medición y se cuentan los grados a partir del lado inicial. Después se hace una marca en el papel, para señalar la abertura necesaria por la cual pasará el lado final.

Cómo trazar un ángulo

ángulo19

ángulo21

ángulo22

ángulo23

ángulo24

Cómo medir un ángulo

ángulo25

ángulo26

ángulo27

Clasificación de ángulos por su medida

Los ángulos pueden ser:

  • Recto. Es el ángulo que mide 90°. Sus lados son perpendiculares. Equivale a una amplitud o rotación de un cuarto de vuelta. A veces para indicar en el trazo que un ángulo es recto, se usa un cuadrito que se coloca en el vértice.

ángulo6

  • Agudo. Mide menos de 90°.

ángulo7

  • Obtuso. Mide más de 90° y menos de 180°. Equivale a una rotación mayor que el cuarto de vuelta y menor que media vuelta.

ángulo8

  • Llano. Mide 180°. Equivale exactamente a una rotación de la mitad de la vuelta. Sus lados están en una misma línea recta (un lado es la prolongación del otro).

ángulo9

  • Cóncavo. Mide más de 180°.

ángulo9.1

  • Ángulo entero o completo. Mide 360°

ángulo9.2

Clasificación de ángulos por su posición

Ángulos adyacentes. Se forman con un lado común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. En la imagen observamos los ángulos AOB  y  BOC. El lado que pertenece a los dos ángulos es BO   y los lados que pertenecen a la misma recta son CO y AO.

ángulo10

    • Ángulos consecutivos. Son consecutivos si tienen un lado común que separa a los otros dos lados.

ángulo14

    • Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos en los cuales los lados de uno se forman con las prolongaciones de  los lados del otro.

ángulo13

Clasificación de ángulos por su suma

  • Ángulos complementarios. Son dos ángulos que sumados forman un ángulo recto, es decir,

juntos suman 90°.

ángulo11

  • Ángulos suplementarios. Son los que sumados forman un ángulo llano, es decir, que juntos suman 180°.
  • angulos_1.1