Ejercicio resuelto. Múltiplos y divisores

 Múltiplos y divisores 

Observa el siguiente cuadro de multiplicaciones.
37_1.1
Todos los números que aparecen como resultado en la tabla de cualquier número son múltiplos de este número.
Ejemplo:
Los múltiplos de 2:
37_1.2
La regularidad de los múltiplos de 2 es que siempre terminan en número par.
Los múltiplos de 3
37_1.3
La regularidad de los múltiplos de tres es que si sumas el valor absoluto de sus cifras, siempre da como resultado un múltiplo de tres.
37_1.3bis
Los múltiplos de 5
37_1.4
La regularidad de los múltiplos de 5 es que terminan en cero o cinco.
Los múltiplos de 10
37_1.5
La regularidad de los múltiplos de 10 es que siempre terminan en cero.
Los múltiplos de 6
37_1.6
Fíjate que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de tres a la vez.

37_1.6bis
Hay números que son múltiplos de dos o más números a la vez.
Ejemplo:
Múltiplos de 2 y de 3
37_1.7
Múltiplos de 5 y de 10
37_1.8
Múltiplos de 6 y de 3
37_1.9
Los números que aparecen en la tabla no son los únicos múltiplos, tú puedes seguir multiplicando cualquiera de los números y seguir obteniendo múltiplos.

Con este ejercicio puedes ver también que los números tienen varios divisores.
Divisores son los números entre los cuales se puede dividir exactamente un número (es decir, sin que sobre nada).
Los dos números que multiplicas para obtener un múltiplo, son divisores de este número
Por ejemplo:
Los divisores de 30 que encuentro en la tabla son 3, 5, 6, 10; porque al dividir 30 entre 3 el resultado es 10 (3 x 10 = 30); 30 entre 5, el resultado es 6 (5 x 6 = 30); 30 entre 6, el resultado es 5 (6 x 5 = 30); 30 entre 10, el resultado es 3 (10 x 3 = 30).
El 30 se puede dividir exactamente entre 3, 5, 6, 10.
37_2.1
Los divisores de 18 que veo en la tabla son 2, 3, 6, 9

18 ÷ 3 = 6 porque 3 x 6 = 18

18 ÷ 9 = 2 porque 9 x 2 = 18
37_2.2
Este ejercicio te sirve de base para trabajar con los múltiplos y los divisores de un número.

Si quieres saber más de este tema, haz clic en las siguientes ligas.
Divisores de un número
Criterios de divisibilidad
Números divisibles por 2, 3, 4, etc.

Ejercicios resueltos. Números divisibles por 2, por 3, por 4, etc…

Divisibilidad por 2, 3, 4, etc…

Un número es divisible por otro, cuando al efectuar la división, ésta resulta exacta, es decir, no hay residuo.

Recuerda los criterios que se utilizan para la divisibilidad de un número. A continuación escribo los más comunes.

divisibilidadtabla

Te sugiero visitar Criterios de divisibilidad para que tengas la información más completa.

EJERCICIOS.

1. Escribe números que sean divisibles por 2

Criterio: Que termine en número par: 0, 2, 4, 6 y 8
Por lo que sólo tengo que cuidar que el número que escriba termine en número par.
Ejemplo:
divisibilidad1.1

 2. Escribe números que sean divisibles por 2 y por 3

Criterios Para 2: que terminen en número par
Para 3= Que la suma de los valores absolutos de sus cifras sea divisible por 3
Para escribir el número considero primero que termine en número par y luego a ese número le voy sumando otros hasta que obtenga un resultado que sea divisible por 3
Ejemplo:
divisibilidad1.2
divisibilidad1.3
divisibilidad1.4

3. Escribe números que sean divisibles por 2 y por 5

Criterios: Para 2= Terminar en número par (0, 2, 4, 6, 8)
Para 5= Terminar en 0 ó 5
Considerando los criterios, sólo puedo considerar el número par 0 y la terminación en 0
Ejemplo:
divisibilidad1.5
divisibilidad1.6

4. Escribe números que sean divisibles por 3 y por 5

Criterios: Para 3= Que la suma de los valores absolutos de sus cifras sea divisible por 3
Para 5= Terminar en 0 ó 5
En este caso es importante considerar primero la terminación del número que debe ser igual a 0 o a 5 y después ir sumando cifras que formen un múltiplo de 3
Ejemplo:
divisibilidad1.7
divisibilidad1.8

5. Escribe números que sean divisibles por 2 y por 4

Criterios: Para 2= Que termine en número par: 0, 2, 4, 6, 8
Para 4= Terminar en dos ceros o múltiplo de 4 de dos cifras
En este caso considero la terminación de dos ceros o con dos cifra que formen un múltiplo de cuatro que termine en número par.
Ejemplo:
divisibilidad1.9
divisibilidad2.1

6. Escribe números que sean divisibles por 2, por 3 y por 6

Criterios: Para 2= Que termine en número par: 0, 2, 4, 6, 8
Para 3= Que la suma de los valores absolutos de sus cifras sea divisible por 3
Para 6= Que sea divisible por 2 y por 3
En este caso lo primero que se considera es la terminación en par y después se van agregando cifras como se hizo en el ejercicio 2, en el cual los números son divisibles por 2 y por 3 y por tanto, son divisibles entre 6.
Ejemplo:
divisibilidad2.2

7. Escribe números que sean divisibles por 2, por 3 y por 4

Criterios: Para 2= Que termine en número par: 0, 2, 4, 6, 8
Para 3= Que la suma de los valores absolutos de sus cifras sea divisible por 3
Para 4= Terminar en dos ceros o múltiplo de 4 de dos cifras
Como puedes ver aquí se combinan más criterios, el principal será que las dos últimas cifras del número sea un múltiplo de 4 y que termine en número par o dos ceros. Después puedes agregar las cifras necesarias sumando múltiplos de tres.
Ejemplo:
divisibilidad2.3
divisibilidad2.4

8. Escribe números que sean divisibles por 6 y por 8

Criterios: Para 6= Que sea divisible por 2 y por 3
Para 8= Que sus tres últimas cifras sean ceros o que sumadas den un número divisible
por 8
En este caso, lo más importante es la terminación del número.
Debes cuidar que termine en tres ceros o que la suma de las tres últimas cifras sea un múltiplo de 8 y termine en cifra par. Después sólo agregas cifras a la izquierda hasta completar las que te soliciten y que al sumarlas, den como resultado un múltiplo de 3, pues recuerda que para que sea divisible por 6, tiene que ser divisible por 2 y por 3.
Ejemplo:
divisibilidad2.5
divisibilidad2.6
Como puedes darte cuenta, considerando los criterios y con base en las terminaciones de los números, puedes escribir cualquiera que se te solicite.
Ejemplos resueltos
Ejercicio 1

Criterios de divisibilidad

Criterios de divisibilidad

Los criterios o caracteres de divisibilidad son ciertas señales de los números que nos permiten conocer, por simple inspección si un número es divisible por otro.

Divisibilidad por 2

“Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 ó número par” (2, 4, 6, 8)
Ejemplo.
        38 es divisible por 2 porque termina en número par(8).
        50 es divisible por 2 porque termina en 0
        25 no es divisible por 2 porque no termina en 0 ó número par (2, 4, 6, 8).

Divisibilidad por 3

“Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3” (3, 6, 9, 12, 18….)
Ejemplo.
        456 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras 4 + 5 + 6 = 15 y quince es múltiplo de 3 (3 x 5 = 15).
        503 no es divisible por 3 porque la suma de sus cifras 5 + 0 + 3 = 8 y ocho no es múltiplo de 3.
        43212 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras 4 + 3 + 2 + 1 + 2 = 12 y doce es múltiplo de 3 (3 x 4 = 12).

Divisibilidad por 4

“Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 4” (4, 8, 12, 16, 20….)
Ejemplo.
        1200 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros(00).
        8436 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 (4 x 9 = 36).
        43210
no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras (10) no forman un múltiplo de 4

Divisibilidad por 5

“Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó 5.
Ejemplo.
        120 es divisible por 5 porque termina en 0.
        8435 es divisible por 5 porque termina en 5.
        432
no es divisible por 5 porque no termina ni en 0 ni en 5

Divisibilidad por 6

“Un número es divisible por 6 cuando es divisible a la vez por 2 y por 3.
Ejemplo.
186 es divisible por 6 porque es divisible por 2 (termina en número par = 6) y es divisible por 3 
 (la suma de sus cifras 1 + 8 + 6 = 15 que es múltiplo de 3).

 8538 es divisible por 6 porque es divisible por 2 (termina en número par = 8) y es divisible por 3 (la suma de sus cifras 8 + 5 + 3 + 8 = 24 que es múltiplo de 3).
 4354 no es divisible por 6 porque si es divisible por 2 (termina en número par=4) pero no es divisible por 3 (la suma de sus
cifras 4+3+5+4=16 que no es múltiplo de 3).

Divisibilidad por 7

“Un número es divisible por 7 cuando separando la última cifra, multiplicándola x 2, restando este producto de lo que qued,a y así suscesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Ejemplo.
336 es divisible por 7 porque separando su última cifra que es 6, multiplicándola por 2 = 12, restando éste a 33 = 21, me resulta un múltiplo de 7 (7 x 3 = 21).
        588 es divisible por 7 porque
        58 (8) x 2 = 16
        58-16 = 42
        42 es múltiplo de 7 (7 x 6 = 42)

Divisibilidad por 8

“Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 8” (8, 16, 24, 32, 40….)
Ejemplo.
        1000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros(000).
        2568 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 (568 entre 8 = 71).
        4321 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras no son ceros ni forman un múltiplo de 8 (321 entre 8 = 540.125).

Divisibilidad por 9

“Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplo.
        945 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras 9 + 4 + 5 = 18 que es múltiplo de 9.
        8532 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras 8 + 5 + 3 + 2 = 18 que es múltiplo de 9.
        4354 no es divisible por 9 porque la suma de sus cifras 4 + 3 + 5 + 4 = 16 que no es múltiplo de 9.

Divisibilidad por 10

“Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
Ejemplo.
        120 es divisible por 10 porque termina en 0.
        8435 no es divisible por 10 porque termina en 0.

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