Ejercicio resuelto. Múltiplos y divisores

 Múltiplos y divisores 

Observa el siguiente cuadro de multiplicaciones.
37_1.1
Todos los números que aparecen como resultado en la tabla de cualquier número son múltiplos de este número.
Ejemplo:
Los múltiplos de 2:
37_1.2
La regularidad de los múltiplos de 2 es que siempre terminan en número par.
Los múltiplos de 3
37_1.3
La regularidad de los múltiplos de tres es que si sumas el valor absoluto de sus cifras, siempre da como resultado un múltiplo de tres.
37_1.3bis
Los múltiplos de 5
37_1.4
La regularidad de los múltiplos de 5 es que terminan en cero o cinco.
Los múltiplos de 10
37_1.5
La regularidad de los múltiplos de 10 es que siempre terminan en cero.
Los múltiplos de 6
37_1.6
Fíjate que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de tres a la vez.

37_1.6bis
Hay números que son múltiplos de dos o más números a la vez.
Ejemplo:
Múltiplos de 2 y de 3
37_1.7
Múltiplos de 5 y de 10
37_1.8
Múltiplos de 6 y de 3
37_1.9
Los números que aparecen en la tabla no son los únicos múltiplos, tú puedes seguir multiplicando cualquiera de los números y seguir obteniendo múltiplos.

Con este ejercicio puedes ver también que los números tienen varios divisores.
Divisores son los números entre los cuales se puede dividir exactamente un número (es decir, sin que sobre nada).
Los dos números que multiplicas para obtener un múltiplo, son divisores de este número
Por ejemplo:
Los divisores de 30 que encuentro en la tabla son 3, 5, 6, 10; porque al dividir 30 entre 3 el resultado es 10 (3 x 10 = 30); 30 entre 5, el resultado es 6 (5 x 6 = 30); 30 entre 6, el resultado es 5 (6 x 5 = 30); 30 entre 10, el resultado es 3 (10 x 3 = 30).
El 30 se puede dividir exactamente entre 3, 5, 6, 10.
37_2.1
Los divisores de 18 que veo en la tabla son 2, 3, 6, 9

18 ÷ 3 = 6 porque 3 x 6 = 18

18 ÷ 9 = 2 porque 9 x 2 = 18
37_2.2
Este ejercicio te sirve de base para trabajar con los múltiplos y los divisores de un número.

Si quieres saber más de este tema, haz clic en las siguientes ligas.
Divisores de un número
Criterios de divisibilidad
Números divisibles por 2, 3, 4, etc.

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Divisores de uno o más números. Método rápido para hallarlos

 Cómo hallar los divisores rápido

EJERCICIOS RESUELTOS. DIVISORES DE UN NÚMERO. MÉTODO PARA HALLARLOS.
El método utilizado en estos ejercicios es el árbol de factores.
Resuelvo un ejemplo paso a paso.
Encontrar los divisores de 32.
1. Realizo el árbol de factores, que consiste en representar el 32 con dos factores que multiplicados den como resultado 32. Voy a iniciar con los factores 4 x 8 = 32, aunque pueden ser otros dos factores que multiplicados den 32.
hallar_divisores1.1
2. Encuentro dos factores que multiplicados den 4 y otros dos que den 8. Recuerda que NO PUEDES UTILIZAR EL 1 (1 x 4 ó 1 x 8), por ello, el 4 sólo puede representarse con los factores 2 x 2. El 8 queda como 2 x 4.
hallar_divisores1.2
3. En el caso del 4 he llegado a los factores primos (que sólo se dividen por 1 y por sí mismos) por lo que ya no hay más factores (están encerrados en círculo rojo). En el caso del 8, el factor 2 también es primo (encerrado en círculo rojo), así se queda; pero en el caso del 4 aún puedo obtener factores: 2 x 2.
hallar_divisores1.3
4. Como en el caso de los dos factores iniciales: 4 x 8 ya he llegado a los factores primos, he terminado de factorizarlos.
Para saber cuántos divisores tiene el 32 voy a representar al 32 con factores primos (los que están encerrados en círculos rojos) en su forma abreviada. En este caso sólo está el factor primo 2 y aparece 5 veces, es decir que el 32 se representa así:
hallar_divisores1.4
Con la representación 2⁵ (dos a la quinta potencia) voy a saber cuántos divisores tiene el 32 sumando una unidad al exponte 5 de su forma abreviada, es decir 5 + 1 = 6; por lo que el 32 tiene seis divisores.
hallar_divisores1.5
Ahora, para obtener los seis divisores de 32 voy a utilizar una tabla como la siguiente:
hallar_divisores1.6
5. En esta tabla organizo los números obtenidos en el árbol de factores.
6. Registro los números que se derivan del factor de la izquierda 4 (que en este caso escribí con azul), antes de la línea vertical de la tabla, en forma vertical. Si hay factores que se repiten, como es el caso del 2, sólo los escribo una vez. Y todos los factores que proceden del factor de la derecha 8 (que en este caso escribí con verde), los escribo sobre la línea horizontal de la tabla, en forma horizontal
hallar_divisores1.7
hallar_divisores1.8
7. Ahora multiplico cada factor vertical por cada factor horizontal, escribiendo debajo los resultados.
hallar_divisores1.9
8. Los divisores de 32 están en la tabla. Organízalos y escríbelos de menor a mayor sin repetirlos y agregando el 1, ya que éste es divisor de todos los números.
hallar_divisores2.1
Otros ejemplos:

a) Encontrar los divisores de 64

hallar_divisores2.2

hallar_divisores2.3

hallar_divisores2.4
hallar_divisores2.5

b) Encontrar los divisores de 81

b) Encontrar los divisores de 81.
hallar_divisores2.6

hallar_divisores2.7
hallar_divisores2.8
hallar_divisores2.9

c) Encontrar los divisores de 18

En este ejemplo vamos a observar que el resultado de la factorización puede tener más de un factor (2 y 3 en este caso). Aquí hay que sumar una unidad a cada exponente y multiplicar los resultados de las sumas. Cuando un factor primo aparece sólo una vez, se considera que está a la primera potencia, es decir que su exponente es 1.
hallar_divisores3.1

hallar_divisores3.2

hallar_divisores3.3
hallar_divisores3.4
hallar_divisores3.5

d) Encontrar los divisores de 56

hallar_divisores3.6
hallar_divisores3.7

hallar_divisores3.8

hallar_divisores3.9
hallar_divisores4.1

e) Encontrar los divisores de 120

En este ejemplo vamos a ver que hay ocasiones que en la tabla que se realiza no aparecen todas las parejas de los divisores que multiplicados dan el número original (en este caso 120), pero sin embargo, si aparecen los factores con los que se pueden encontrar. Veamos el ejemplo por pasos:
hallar_divisores4.2
hallar_divisores4.3
hallar_divisores4.4
hallar_divisores4.5
hallar_divisores4.6
Como puedes ver, en la tabla sólo aparecen 14 de los 16 divisores que tiene el 120. Para encontrar los que faltan sólo tienes que ordenar por parejas, los números de la tabla que multiplicados entre sí, dan 120.
hallar_divisores4.7
6. Divide el número original por los factores que no tienen pareja para encontrar los divisores que faltan (en este caso 3 y 15). Así tendrás el total de divisores de 120
hallar_divisores4.8
f) Veamos otro ejemplo:

 Encontrar los divisores de 624

hallar_divisores4.9

hallar_divisores5.1

hallar_divisores5.2

hallar_divisores5.3

hallar_divisores5.4
hallar_divisores5.5
hallar_divisores5.6