Ejemplos resueltos. Máximo común divisor.

Problemas resueltos con máximo común divisor

Si no te quedan claros los ejercicios, te invito a que revises el tema “Máximo común divisor” en este sitio. Allí encontrarás todo lo relacionado con el tema.
Aquí te expongo algunas de las situaciones donde se utiliza para la solución de las mismas.
Recordemos que el máximo común divisor de dos o más números, es el mayor número que los divide a todos exactamente.
Veamos ejemplos en los que se utiliza.
1.- Se quiere cubrir un piso rectangular de 450 cm de largo y 360 cm de ancho con losetas cuadradas de igual medida. No se vale hacer cortes, es decir, el número de losetas tendrá que ser un número entero.
a) Escribe tres medidas que pueden tener las losetas para cubrir todo el piso.
b) ¿Cuál es la medida mayor?
Solución:
Busco el máximo común divisor de 450 y 360 por descomposición en factores primos.
ejerciciosmcd1.1
El m.c.d. de 450 y 360 es 90. Esto indica que 90 es el número mayor en el que se pueden dividir los dos números. Y para el caso del problema, indica que es la medida mayor que pueden tener las losetas cuadradas: 90 x 90.
Si divido 450 entre 90 y 360 entre 90, obtengo la cantidad de losetas que utilizaría:
ejerciciosmcd1.2
Se me pide que dé tres medidas que podrían tener las losetas.
Ahora obtengo todos los divisores compuestos de 90, que serán también divisores de 360 y 450:
ejerciciosmcd1.3
Y con ellos obtengo las medidas que pueden tener las losetas:
ejerciciosmcd1.4
Las respuestas del problema serían:
a) Escribe tres medidas que pueden tener las losetas para cubrir todo el piso.
90 x 90, 45 x 45, 30 x 30, 18 x 18, 15 x 15, 10 x 10, 9 x 9 etc.
b) ¿Cuál es la medida mayor?
90 x 90
 Problema 2.-

En la ferretería tienen dos tambos de 200 litros de capacidad. Uno contiene 150 litros de alcohol y el otro 180 litros de aguarrás. Se decidió mandar hacer varios garrafones del mismo tamaño y capacidad para envasar tanto el alcohol como el aguarrás sin que sobre nada de líquido en los tambos.
a) ¿Es posible que la capacidad de los garrafones sea entre 10 y 20 litros?
b) Escribe tres capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
Antes de ordenar la fabricación de los garrafones, llegó a la ferretería un tercer tambo con 105 litros de cloro. Ahora se necesita que los tres líquidos sean envasados en garrafones con el mismo tamaño y capacidad.
c) Escribe dos capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
d) ¿Cuál será el de mayor capacidad?
Resolvamos la primera parte. Hay que obtener el m.c.d. de 150 y 180:
ejerciciosmcd1.5
Ahora obtengo todos los divisores compuestos de 30, que serán también divisores de 150 y 180:
ejerciciosmcd1.6
Con esta información contesto las preguntas a y b:
a) ¿Es posible que la capacidad de los garrafones sea entre 10 y 20 litros?
Si. Los garrafones pueden ser de 10 ó 15 litros
ejerciciosmcd1.7
b) Escribe tres capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
De 30 litros, de 15 litros, 10 litros, 6 litros, etc…
Resolvamos la segunda parte.
Hay que obtener el m.c.d. de 30 (por ser el máximo común divisor de 150 y 180) y de 105 que son los litros de cloro:
ejerciciosmcd1.8
Y obtener los divisores compuestos de 15:
ejerciciosmcd1.9
Contestamos las preguntas c y d:
c) Escribe dos capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
15 litros, 5 litros, 3 litros, 1 litro
d) ¿Cuál será el de mayor capacidad?
15 litros
Problema 3.-

 ¿Se podrán dividir tres varillas de 20 cm, 24 cm y 30 cm en pedazos de 4 cm sin que sobre ni falte nada en cada varilla?

No. El máximo común divisor de los tres números es 2. 30 no es múltiplo de 4.
ejerciciosmcd2.1
Problema 4.-

Un padre da a un hijo $80, a otro $75 y a otro $60 para repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada pobre y cuántos los pobres socorridos?
La mayor cantidad es $5 y serán socorridos 43 pobres
ejerciciosmcd2.2
Problema 5.-

Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
ejerciciosmcd2.3