Multiplicación

Multiplicación

multiplicación

La multiplicación de dos números (multiplicando y multiplicador) se indica con una equis (x), un punto (.), o el uso de paréntesis (( ))

a).- Cuando el multiplicador es un número natural la multiplicación es una suma abreviada que consta de tantos sumandos iguales al multiplicando como unidades tenga el multiplicador.Ejemplo: 8 x 3 = 8 + 8 + 8 = 24, es decir 3 veces el 8.

b).- Si el multiplicador es 0, el producto es cero. Ejemplo: 98 x 0 = 0.

c).- Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando. Ejemplo:

98 x 1 = 98

d).- Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad. Ejemplo: 79 x 1,000 = 79,000 porque el valor relativo de cada cifra se ha hecho 1,000 mayor

e).- Para multiplicar dos números terminados en ceros se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como haya en el multiplicando y el multiplicador. Ejemplo: 1,200 x 3,000 = 12 x 3 = 36 y se agregan dos ceros del multiplicando mas tres del multiplicador = 3 600,000

f).- En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multiplicando y el multiplicador juntos o una menos. Ejemplo: 476 x 25 tiene tres cifras el multiplicando más dos cifras del multiplicador, total cinco cifras; mismas que va a tener el producto o una menos. 476 x 25 = 11,900 (cinco cifras); 123 x 12 tiene tres cifras del multiplicando más dos cifras del multiplicador, total cinco cifras; mismas que va a tener el producto o una menos;123 x 12 = 1476 (tiene una cifra menos).

Leyes de la multiplicación

Son seis: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.

LEY DE UNIFORMIDAD

“El producto de dos números tiene un valor único o siempre es igual”


Ejemplo:

a).- 25 pesos x 4 pesos = 100 pesos

b).- 25 libros x 4 libros = 100 libros

c).- 25 perros x 4 perros = 100 perros

Es decir, Al multiplicar 25 x 4, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 100.

LEY CONMUTATIVA

“El orden de los factores no altera el producto”

Esta ley indica que al multiplicar los factores, no importa el orden en el que se multipliquen, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo.

32 x 21 = 672

21 x 32 = 672

Es decir, la multiplicación 32 x 21 ó 21x 32 cualquiera que sea el orden de los factores, siempre será igual a 672.

LEY ASOCIATIVA

“El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto”

En esta propiedad se hace uso de los paréntesis para indicar cuáles son los factores que se asocian. Primero deben efectuarse los productos encerrados dentro de ellos y luago las otras operaciones indicadas.

Ejemplo.

5 x 8 x 10 x 2 = 800

(5 x 8) x 10 x 2 = 40 x 10 x 2 = 800

(5 x 8) x (10 x 2) = 40 x 20 = 800

LEY DISOCIATIVA

“El producto de varios números no varía descomponiendo uno o más factores en dos o más factores”

Ejemplo.

8 x 5 x 10 x 2 = 800

4 x 2 x 5 x 10 x 2 = 800, ya que 4 x 2 = 8

4 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 = 800, ya que 4 x 2 = 8 y 5 x 2 = 10. El resultado no se altera.

LEY DISTRIBUTIVA

1.- PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN NÚMERO.

“Para multiplicar una suma indicada por un número, se multiplica cada sumando por ese número y se suman los productos”

Ejemplo.

(8 + 5)10 = 130

8 x 10 + 5 x 10 = 80 + 50 = 130

2.- PRODUCTO DE UNA RESTA POR UN NÚMERO.

“Para multiplicar una resta indicada por un número, se multiplican el minuendo y el substraendo por este número y se restan los productos parciales”

Ejemplo.

(8 – 5)10 = 30

8 x 10 – 5 x 10 = 80 – 50 = 30

3.- PRODUCTO DE UNA SUMA ALGEBRAICA.

“Para multiplicar una suma algebraica por un número, se multiplican cada término de la suma por dicho número poniendo delante da cada producto el signo + si el término que se multiplica es positivo y el signo si el término que se multiplica es negativo

Ejemplo.

(8 – 5 + 7 – 6)10 = 30

8 x 10 – 5 x 10 + 7 x 10 – 6 x 10 = 30 + 10 = 40

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas”

Esta ley indica que al multiplicar desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades.

Ejemplo.

8 < 10

5 = 5

8 x 5 < 10 x 5

40 < 50

Segunda parte. “Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas”

Esta ley indica que al multiplicar desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual.

Ejemplo.

8 > 6

15 > 10

8 x 15 > 6 x 10

120 > 60

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN

La prueba de la multiplicación puede verificarse de tres modos.

Modo 1. Por la ley conmutativa.

Se cambia el orden de los factores, debiendo darnos el mismo producto si la operación está correcta

prueba1_multiplicación

Modo 2. Por una división.

Dividiendo el producto por uno de los factores (multiplicando o multiplicador) debiendo darnos el otro factor.

prueba2_multiplicación

Modo 3. Por la prueba del 9.

Se halla el residuo entre 9 del multiplicando y del multiplicador. El residuo entre 9 del producto de estos residuos, tiene que ser igual si la operación está correcta, al residuo entre 9 del producto total.

prueba3_multiplicación

Suma o adición

Suma o adición

suma

Es la reunión de dos o más conjuntos llamados “sumandos” en un solo conjunto llamado “suma o total”. Su signo es + y se coloca entre los sumandos.

Leyes de la suma o adición

Son cinco: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa y ley de monotonía.

LEY DE UNIFORMIDAD

“La suma de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual”

Esta ley indica que siempre que se sumen los mismos números, aunque sean cosas diferentes, el resultado no cambiará.

Ejemplo.
a).- 32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos
b).- 32 pollos + 21 pollos = 53 pollos
c).-32 pesos + 21 pesos = 53 pesos
Es decir, la suma de 32 + 21, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 53.

LEY CONMUTATIVA

“El orden de los sumandos no altera la suma”

Esta ley indica que al sumar los mismos números, no importa el orden en el que se sumen los sumandos, el resultado siempre será el mismo.
Ejemplo.
32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos
21 vestidos + 32 vestidos = 53 vestidos
Es decir, la suma de 32 + 21 ó 21 + 32 cualquiera que sea el orden de los sumandos, siempre será igual a 53.

LEY ASOCIATIVA

“La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma”

Esta ley indica que al sumar varios números, su resultado no se altera si yo sumo primero dos de ellas (indicando la asociación dentro de un paréntesis) y a este resultado le sumo el otro (otros ) sumandos.

Ejemplo.
15 + 20 + 3 = 38
(15 + 20)+ 3 = 38
35 + 3 = 38
Es decir, la suma 15 + 20 + 3 = 38 no cambia su resultado si yo sumo 35 + 3 = 38 (después de asociar primero 15 + 20 = 35).
También podría sumar 15 + 23 = 38 (después de asociar 20 + 3 = 23).

¡Importante!!!

El uso de los paréntesis.

Los paréntesis ( ) son signos de asociación o agrupación de números que indican una operación.

Cuando en una operación se encuentra otra dentro de un paréntesis, siempre se tiene que resolver primero la que está entre paréntesis, y con su resultado, continuar con la otra parte de la operación.

Ejemplo.
En la operación (50 + 45) + 5 primero resuelvo (50 + 45)= 95 y este resultado lo sumo al otro sumando 95 + 5 = 100
En la operación (14 + 16) + (10 + 32) primero resuelvo (14 + 16) = 30, luego (10 + 32)= 42, y por último 30 + 42 = 72

LEY DISOCIATIVA

“La suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sumandos”

Esta ley indica que al descomponer un sumando en dos o más sumandos más pequeños, su resultado no se altera.

Ejemplo.
Si tengo la suma 45 + 83, puedo descomponer el 45 en dos sumandos: 40 + 5 y el 83 en 80 + 3 y si sumo estos sumandos el resultado es el mismo.
45 + 83 = 128
40 + 5 + 80 + 3 = 128
Esta ley es recíproca de la ley asociativa.

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades.

Ejemplo.
Si tengo la suma 12 < 43
10 = 10
12 + 10 < 43 + 10
22 < 53

Segunda parte. “Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual.

Ejemplo.

Si tengo la suma 43 > 12
15 > 10
43 + 15 > 12 + 10
58 > 22

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA SUMA

La prueba de la suma puede verificarse de tres modos.
Modo 1 Por la ley conmutativa.
Se suman los sumando de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba ya que según esta ley el orden de los sumandos no altera la suma

prueba1_suma

Modo 2 Por la ley asociativa.
Se sustituyen varios sumandos por su suma parcial y se suman, teniendo que ser su resultado igual a la suma total.

prueba2_suma

Modo 3 Por la prueba del 9.
Se suman las cifras de cada sumando y se dividen entre 9, anotando a la derecha de cada sumando el residuo de esa división. Se suman todos los residuos y se dividen entre 9.
Se sigue el mismo procedimiento con las cifras del resultado. Si el residuo de la suma de los sumandos entre 9 y y el residuo del resultado entre 9 son iguales, la suma es correcta.