División y división abreviada

División

 división

“La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de esos factores (divisor), hallar el otro factor (cociente)”

Dada esta definición podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro (divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo.
El cociente indica cuántas veces el dividendo contiene al divisor.
Ejemplo.
Dividir 32 ÷ 4 = 8
Porque 8 x 4 = 32
El cociente 8 indica que el dividendo 32 contiene ocho veces al divisor 4.

División exacta

La división es exacta cuando existe un número entero que multiplicado por el divisor, da el dividendo, es decir cuando el dividendo es múltiplo del divisor.
Ejemplo.
32 ÷ 4 = 8
El número entero 8 es el cociente exacto de 32 entre 4
Porque 32 es múltiplo de 4

División inexacta

La división es inexacta cuando no existe ningún número entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo, es decir cuando el dividendo no es múltiplo del divisor y hay residuo diferente a cero.
Ejemplo.
28 ÷ 5 = 5 y sobran 3
El número entero 5 es el cociente inexacto de 28 entre 5
Porque 28 no es múltiplo de 5. Si del dividendo 28 restamos el producto de
5 x 5 la diferencia es 3 y es lo que llamamos residuo por defecto.

División como resta abreviada

La división es una resta abreviada en la cual el divisor se resta todas las veces que se pueda del dividendo y el total de restas que se realizan representa el cociente.
Ejemplo 1.
32 ÷ 8 = 4
Esta división como resta abreviada quedaría así:
1). 32-8=24
2). 24-8=16
3). 16-8=8
4). 8-8=0
Como puedes ver, se realizaron 4 restas. Este 4 (las restas) representa al cociente.
Ejemplo 2.
42 ÷ 8 = 5 y sobran 2
Esta división como resta abreviada quedaría así:
1). 42-8=34
2). 34-8=26
3). 26-8=18
4). 18-8=10
5). 10-8=2
Como puedes ver, se realizaron 5 restas y sobraron 2 unidades. El 5 (las restas) representa al cociente y el 2 (lo que sobra de las restas) equivale al residuo.

División por la unidad seguida de ceros

A esta división se le conoce también como división abreviada, ya que para resolverla puedes no seguir el procedimiento general y la puedes abreviar basándote en los ceros que contiene el divisor.

Veamos cómo resolverlas.

Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros, se separan de su derecha, con un punto decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad; porque con ello el valor relativo de cada cifra se hace tantas veces menor como indica el divisor.
Ejemplo.
328 ÷ 10 = 32.8
Porque la unidad del divisor (10) se acompaña de 1 cero, recorrí el punto decimal de derecha a izquierda un lugar.
48965 ÷ 10,000 = 4.8965
Porque la unidad del divisor (10,000) va acompañada de 4 ceros, recorrí el punto decimal de derecha a izquierda cuatro lugares.

2956 ÷ 100 = 29.56 

ya que el divisor 100 va acompañado de dos ceros, recorro el punto decimal dos lugares de derecha a izquierda.

Además de las divisiones abreviadas entre divisores múltiplos de 10, también están las divisiones abreviadas entre 5, entre 25, entre 125; por ser números que se relacionan directamente con los múltiplos de 10.

Veamos ejemplos.

División abreviada entre 5

485 ÷ 5 = 

Para resolverla se multiplica el dividendo por 2 y se divide entre 10, es decir, se recorre el punto decimal un lugar de  derecha a izquierda:

485 ÷ 5 = 485 x 2 ÷ 10 = 970 ÷ 10 =97

Otro ejemplo:

5970 ÷ 5 = 5970 x 2  ÷  10 =

En este ejemplo puedo eliminar un cero en 5970 y en 10 para abreviar la división:

5970 ÷ 5 = 597 x 2  ÷  1 = 1194

División abreviada entre 25

Dividamos

12,125 ÷ 25 =

Para resolverla se multiplica el dividendo por 4 y se divide entre 100, es decir, se recorre el punto decimal dos lugares de  derecha a izquierda:

12,125 ÷ 25 = 12,125 x 4 ÷ 100 = 48,500 ÷ 100 = 485

Otro ejemplo:

3000 ÷ 25 = 300 x 4 ÷ 100 = 12,000 ÷ 100 = 

En este ejemplo puedo eliminar dos ceros en 12,000 y en 100 para abreviar la división:

3000 ÷ 25 = 300 x 4 ÷ 100 = 120 ÷ 1 = 120

División abreviada entre 125

Dividamos

36892  ÷ 125 =

Para resolverla se multiplica el dividendo por 8 y se divide entre 1000, es decir, se recorre el punto decimal tres lugares de  derecha a izquierda:

36892÷ 125 = 36892 x 8 ÷ 1000 = 295,136 ÷ 1000 = 295.136

Otro ejemplo:

8700 ÷ 125 = 8700 x 8 ÷ 1000 = 69600 ÷ 1000 = 

En este ejemplo puedo eliminar dos ceros en 69600 y en 1000 para abreviar la división:

8700 ÷ 125 = 8700 x 8 ÷ 1000 = 696 ÷ 10 = 69.6

Ahora te puede parecer complicado el procedimiento de la división abreviada, pero con la práctica verás que es sencillo.

Número de cifras del cociente

El cociente tiene siempre una cifra más que las cifras que quedan a la derecha del primer dividendo parcial.
Ejemplo 1.
Al dividir 318 ÷ 3.
Separamos en el dividendo (318) para empezar la operación la primera cifra que sería su primer dividendo parcial, en este caso 3 entre 3
(porque es el número que se puede dividir entre 3) quedando a la derecha 18 formado por dos cifras
El cociente de esta división tendrá una cifra más que estas dos que quedaron a la derecha, o sea, tres cifras.
318 ÷ 3 = 106 (cociente de tres cifras)
Ejemplo 2.
Al dividir 567609 ÷ 453.
Separamos en el dividendo (567609) para empezar la operación la primera cifra que sería su primer dividendo parcial, en este caso 567 (porque es el número que se puede dividir entre 453) quedando a la derecha 609 formado por tres cifras.
El cociente de esta división tendrá una cifra más que estas tres que quedaron a la derecha, o sea, cuatro cifras.
567609 ÷ 453 = 1253 (cociente de cuatro cifras).

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA DIVISIÓN

La prueba de la DIVISIÓN puede verificarse de tres modos. Modo 1. Multiplicando el divisor por el cociente y sumándole el residuo (en caso de que haya). Tiene que darnos como resultado el dividendo si la división está correcta.

prueba1_división

Modo 2. Si la división es exacta, dividiendo el dividendo entre el cociente, tiene que darnos como resultado el divisor. Si no es exacta, se resta el residuo del dividendo y la diferencia dividida entre el cociente tiene que dar el divisor.

prueba2_división

Modo 3. Por la prueba del 9.Se halla el residuo entre 9 del divisor y del cociente, se multiplican estos dos residuos y al producto que resulte se le añade el residuo entre 9 del residuo de la división si lo hay. El residuo entre 9 de esta suma, tiene que ser igual, si la operación está correcta; al residuo entre 9 del dividendo.

prueba3_división

Leyes de la división

Las leyes de la división son tres:
1. Ley de uniformidad
2. Ley de monotonía
3. Ley distributiva
 1. LEY DE UNIFORMIDAD 
Se enuncia de dos formas:
a) El cociente de dos números tiene un valor único o siempre es igual.
Ejemplo:

El cociente 40 ÷ 8  tiene un valor único que es 5

porque 5 es el único número que multiplicado por 8 da 40.

b) Como dos números iguales son el mismo número, se tiene que :

Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad.

Ejemplo:

leydiv_1.1

2. LEY DE MONOTONÍA

Consta de tres partes:

a) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre una igualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Ejemplos:

leydiv_1.2
En el ejemplo puedes ver que la desigualdad del resultado, tiene el mismo sentido que el dividendo (el dividendo tiene el signo mayor que, el resultado tiene el signo mayor que).

b) Si una igualdad (dividendo) se divide entre una desigualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor.

Ejemplo:

leydiv_1.3

En el ejemplo puedes observar que el divisor 5 > 4 tiene signo mayor que, por lo tanto el resultado tendrá el signo contrario, que es menor que: 4 < 5

c) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad  de sentido contrario (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Ejemplo:

LEYDIV_1.4

3. LEY DISTRIBUTIVA

a) Cociente de una suma entre un número

Para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por ese número y se suman los cocientes.

Ejemplos:

LEYDIV_1.5

15 ÷ 5 + 20 ÷ 5 será el cociente buscado si multiplicado  por el divisor 5 resulta el dividendo (15 + 20)

Por la ley distributiva de la multiplicación tenemos:

leydiv_1.6

el cinco como factor y divisor se suprime.

b)Cociente de una resta entre una división

Para dividir una resta indicada entre un número, se divide el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los cocientes parciales.

Ejemplo:

leydiv_1.7

c) Cociente de una suma algebraica entre un número.

Se divide cada término por dicho número poniendo delante el signo + si el número es positivo, o el signo si es negativo.

Ejemplo:

leydiv_1.8

d) Cociente de un producto entre un número

Se divide uno solo de los factores del producto por dicho número.

Ejemplo:

leydiv_1.9

e) Cociente de un producto entre uno de sus factores

Basta suprimir ese factor en el producto.

Ejemplo:

leydiv_2.1
Ejemplos resueltos 1 aquí

Ejemplos resueltos 2 aquí
Ejemplo 3

Ejemplos resueltos 4

Ejemplos resueltos 5

Multiplicación

Multiplicación

multiplicación

La multiplicación de dos números (multiplicando y multiplicador) se indica con una equis (x), un punto (.), o el uso de paréntesis (( ))

a).- Cuando el multiplicador es un número natural la multiplicación es una suma abreviada que consta de tantos sumandos iguales al multiplicando como unidades tenga el multiplicador.Ejemplo: 8 x 3 = 8 + 8 + 8 = 24, es decir 3 veces el 8.

b).- Si el multiplicador es 0, el producto es cero. Ejemplo: 98 x 0 = 0.

c).- Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando. Ejemplo:

98 x 1 = 98

d).- Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad. Ejemplo: 79 x 1,000 = 79,000 porque el valor relativo de cada cifra se ha hecho 1,000 mayor

e).- Para multiplicar dos números terminados en ceros se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como haya en el multiplicando y el multiplicador. Ejemplo: 1,200 x 3,000 = 12 x 3 = 36 y se agregan dos ceros del multiplicando mas tres del multiplicador = 3 600,000

f).- En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multiplicando y el multiplicador juntos o una menos. Ejemplo: 476 x 25 tiene tres cifras el multiplicando más dos cifras del multiplicador, total cinco cifras; mismas que va a tener el producto o una menos. 476 x 25 = 11,900 (cinco cifras); 123 x 12 tiene tres cifras del multiplicando más dos cifras del multiplicador, total cinco cifras; mismas que va a tener el producto o una menos;123 x 12 = 1476 (tiene una cifra menos).

Leyes de la multiplicación

Son seis: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.

LEY DE UNIFORMIDAD

“El producto de dos números tiene un valor único o siempre es igual”


Ejemplo:

a).- 25 pesos x 4 pesos = 100 pesos

b).- 25 libros x 4 libros = 100 libros

c).- 25 perros x 4 perros = 100 perros

Es decir, Al multiplicar 25 x 4, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 100.

LEY CONMUTATIVA

“El orden de los factores no altera el producto”

Esta ley indica que al multiplicar los factores, no importa el orden en el que se multipliquen, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo.

32 x 21 = 672

21 x 32 = 672

Es decir, la multiplicación 32 x 21 ó 21x 32 cualquiera que sea el orden de los factores, siempre será igual a 672.

LEY ASOCIATIVA

“El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto”

En esta propiedad se hace uso de los paréntesis para indicar cuáles son los factores que se asocian. Primero deben efectuarse los productos encerrados dentro de ellos y luago las otras operaciones indicadas.

Ejemplo.

5 x 8 x 10 x 2 = 800

(5 x 8) x 10 x 2 = 40 x 10 x 2 = 800

(5 x 8) x (10 x 2) = 40 x 20 = 800

LEY DISOCIATIVA

“El producto de varios números no varía descomponiendo uno o más factores en dos o más factores”

Ejemplo.

8 x 5 x 10 x 2 = 800

4 x 2 x 5 x 10 x 2 = 800, ya que 4 x 2 = 8

4 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 = 800, ya que 4 x 2 = 8 y 5 x 2 = 10. El resultado no se altera.

LEY DISTRIBUTIVA

1.- PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN NÚMERO.

“Para multiplicar una suma indicada por un número, se multiplica cada sumando por ese número y se suman los productos”

Ejemplo.

(8 + 5)10 = 130

8 x 10 + 5 x 10 = 80 + 50 = 130

2.- PRODUCTO DE UNA RESTA POR UN NÚMERO.

“Para multiplicar una resta indicada por un número, se multiplican el minuendo y el substraendo por este número y se restan los productos parciales”

Ejemplo.

(8 – 5)10 = 30

8 x 10 – 5 x 10 = 80 – 50 = 30

3.- PRODUCTO DE UNA SUMA ALGEBRAICA.

“Para multiplicar una suma algebraica por un número, se multiplican cada término de la suma por dicho número poniendo delante da cada producto el signo + si el término que se multiplica es positivo y el signo si el término que se multiplica es negativo

Ejemplo.

(8 – 5 + 7 – 6)10 = 30

8 x 10 – 5 x 10 + 7 x 10 – 6 x 10 = 30 + 10 = 40

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas”

Esta ley indica que al multiplicar desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades.

Ejemplo.

8 < 10

5 = 5

8 x 5 < 10 x 5

40 < 50

Segunda parte. “Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas”

Esta ley indica que al multiplicar desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual.

Ejemplo.

8 > 6

15 > 10

8 x 15 > 6 x 10

120 > 60

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN

La prueba de la multiplicación puede verificarse de tres modos.

Modo 1. Por la ley conmutativa.

Se cambia el orden de los factores, debiendo darnos el mismo producto si la operación está correcta

prueba1_multiplicación

Modo 2. Por una división.

Dividiendo el producto por uno de los factores (multiplicando o multiplicador) debiendo darnos el otro factor.

prueba2_multiplicación

Modo 3. Por la prueba del 9.

Se halla el residuo entre 9 del multiplicando y del multiplicador. El residuo entre 9 del producto de estos residuos, tiene que ser igual si la operación está correcta, al residuo entre 9 del producto total.

prueba3_multiplicación

Resta o sustracción

Resta o sustracción

resta

Es la operación inversa a la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo) hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia). Su signo es un guión corto () y se coloca entre el minuendo y el substraendo

Leyes de la resta o sustracción

Son dos: Ley de la uniformidad y ley de monotonía.

LEY DE UNIFORMIDAD

“La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual”

Esta ley indica que siempre que se resten los mismos números, aunque sean cosas diferentes, el número del resultado no cambiará.

Ejemplo.
a).- La diferencia 45 – 5 tiene un valor único 45 – 5 = 40, porque 40 es el único número que sumado con 5 da 45
b).- La diferencia 198 – 69 tiene un valor único 198 – 69 = 129, porque 129 es el único número que sumado con 69 da 198

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Restando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades, siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que si de una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), el resultado será igual a una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo.

Ejemplo.
Si tengo la resta;
25 > 13 ;minuendo (desigualdad con signo “mayor que”)
4 = 4 ; sustraendo (una igualdad)

25-5 > 13 – 4 resta o diferencia (con signo “mayor que”, igual que el minuendo)

21 > 11

Segunda parte. “Si de una igualdad (minuendo) se resta una desigualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo


Ejemplo.

Si tengo la resta:

269 = 269 minuendo

169 > 69 sustraendo (desigualdad con signo “mayor que”)
269-169 < 269-69


100 < 200 resta o diferencia (desigualdad con signo “menor que”, contrario al substraendo)

Tercera parte. “Si de una desigualdad (minuendo) se resta otra desigualdad de sentido contrario,(substraendo), siempre que la resta se pueda efectuar, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo


Ejemplo.

Si tengo la resta:

309 > 209 minuendo (desigualdad con signo “mayor que”)

100 < 200 sustraendo (desigualdad con signo “menor que”)

309-100 > 209-200

209 > 9 resta o diferencia (desigualdad con signo “mayor que”, igual al minuendo)

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA RESTA

La prueba de la resta puede verificarse de tres modos.

Modo 1. Sumando el sustraendo con la diferencia debiendo dar como resultado el minuendo.

prueba1_resta

 

Modo 2. Restando la diferencia del minuendo debiendo dar como resultado el sustraendo.

prueba2_resta

 


Modo 3 Por la prueba del 9.

Se suman las cifras del sustraendo y se dividen entre 9, anotando a la derecha del sustraendo el residuo de esa división. Se suman las cifras de la resta o diferencia y se dividen entre 9, anotando a la derecha de la resta o diferencia el residuo de esa división. Se suman estos dos residuos y se dividen entre 9 anotando su residuo.
Se sigue el mismo procedimiento con las cifras del minuendo. Si el residuo del minuendo y el residuo del sustraendo más el de la resta o diferencia son iguales, la resta es correcta.

prueba3_resta

Suma o adición

Suma o adición

suma

Es la reunión de dos o más conjuntos llamados “sumandos” en un solo conjunto llamado “suma o total”. Su signo es + y se coloca entre los sumandos.

Leyes de la suma o adición

Son cinco: Ley de la uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa y ley de monotonía.

LEY DE UNIFORMIDAD

“La suma de varios números dados tiene un valor único o siempre es igual”

Esta ley indica que siempre que se sumen los mismos números, aunque sean cosas diferentes, el resultado no cambiará.

Ejemplo.
a).- 32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos
b).- 32 pollos + 21 pollos = 53 pollos
c).-32 pesos + 21 pesos = 53 pesos
Es decir, la suma de 32 + 21, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos, siempre será igual a 53.

LEY CONMUTATIVA

“El orden de los sumandos no altera la suma”

Esta ley indica que al sumar los mismos números, no importa el orden en el que se sumen los sumandos, el resultado siempre será el mismo.
Ejemplo.
32 vestidos + 21 vestidos = 53 vestidos
21 vestidos + 32 vestidos = 53 vestidos
Es decir, la suma de 32 + 21 ó 21 + 32 cualquiera que sea el orden de los sumandos, siempre será igual a 53.

LEY ASOCIATIVA

“La suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma”

Esta ley indica que al sumar varios números, su resultado no se altera si yo sumo primero dos de ellas (indicando la asociación dentro de un paréntesis) y a este resultado le sumo el otro (otros ) sumandos.

Ejemplo.
15 + 20 + 3 = 38
(15 + 20)+ 3 = 38
35 + 3 = 38
Es decir, la suma 15 + 20 + 3 = 38 no cambia su resultado si yo sumo 35 + 3 = 38 (después de asociar primero 15 + 20 = 35).
También podría sumar 15 + 23 = 38 (después de asociar 20 + 3 = 23).

¡Importante!!!

El uso de los paréntesis.

Los paréntesis ( ) son signos de asociación o agrupación de números que indican una operación.

Cuando en una operación se encuentra otra dentro de un paréntesis, siempre se tiene que resolver primero la que está entre paréntesis, y con su resultado, continuar con la otra parte de la operación.

Ejemplo.
En la operación (50 + 45) + 5 primero resuelvo (50 + 45)= 95 y este resultado lo sumo al otro sumando 95 + 5 = 100
En la operación (14 + 16) + (10 + 32) primero resuelvo (14 + 16) = 30, luego (10 + 32)= 42, y por último 30 + 42 = 72

LEY DISOCIATIVA

“La suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sumandos”

Esta ley indica que al descomponer un sumando en dos o más sumandos más pequeños, su resultado no se altera.

Ejemplo.
Si tengo la suma 45 + 83, puedo descomponer el 45 en dos sumandos: 40 + 5 y el 83 en 80 + 3 y si sumo estos sumandos el resultado es el mismo.
45 + 83 = 128
40 + 5 + 80 + 3 = 128
Esta ley es recíproca de la ley asociativa.

LEY DE MONOTONÍA

Primera parte. “Sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido con igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades (mayor que o menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades.

Ejemplo.
Si tengo la suma 12 < 43
10 = 10
12 + 10 < 43 + 10
22 < 53

Segunda parte. “Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido”

Esta ley indica que al sumar sumandos con desigualdades iguales, resulta otra desigualdad igual.

Ejemplo.

Si tengo la suma 43 > 12
15 > 10
43 + 15 > 12 + 10
58 > 22

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA SUMA

La prueba de la suma puede verificarse de tres modos.
Modo 1 Por la ley conmutativa.
Se suman los sumando de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba ya que según esta ley el orden de los sumandos no altera la suma

prueba1_suma

Modo 2 Por la ley asociativa.
Se sustituyen varios sumandos por su suma parcial y se suman, teniendo que ser su resultado igual a la suma total.

prueba2_suma

Modo 3 Por la prueba del 9.
Se suman las cifras de cada sumando y se dividen entre 9, anotando a la derecha de cada sumando el residuo de esa división. Se suman todos los residuos y se dividen entre 9.
Se sigue el mismo procedimiento con las cifras del resultado. Si el residuo de la suma de los sumandos entre 9 y y el residuo del resultado entre 9 son iguales, la suma es correcta.