Ejemplos resueltos. Máximo común divisor.

Problemas resueltos con máximo común divisor

Si no te quedan claros los ejercicios, te invito a que revises el tema “Máximo común divisor” en este sitio. Allí encontrarás todo lo relacionado con el tema.
Aquí te expongo algunas de las situaciones donde se utiliza para la solución de las mismas.
Recordemos que el máximo común divisor de dos o más números, es el mayor número que los divide a todos exactamente.
Veamos ejemplos en los que se utiliza.
1.- Se quiere cubrir un piso rectangular de 450 cm de largo y 360 cm de ancho con losetas cuadradas de igual medida. No se vale hacer cortes, es decir, el número de losetas tendrá que ser un número entero.
a) Escribe tres medidas que pueden tener las losetas para cubrir todo el piso.
b) ¿Cuál es la medida mayor?
Solución:
Busco el máximo común divisor de 450 y 360 por descomposición en factores primos.
ejerciciosmcd1.1
El m.c.d. de 450 y 360 es 90. Esto indica que 90 es el número mayor en el que se pueden dividir los dos números. Y para el caso del problema, indica que es la medida mayor que pueden tener las losetas cuadradas: 90 x 90.
Si divido 450 entre 90 y 360 entre 90, obtengo la cantidad de losetas que utilizaría:
ejerciciosmcd1.2
Se me pide que dé tres medidas que podrían tener las losetas.
Ahora obtengo todos los divisores compuestos de 90, que serán también divisores de 360 y 450:
ejerciciosmcd1.3
Y con ellos obtengo las medidas que pueden tener las losetas:
ejerciciosmcd1.4
Las respuestas del problema serían:
a) Escribe tres medidas que pueden tener las losetas para cubrir todo el piso.
90 x 90, 45 x 45, 30 x 30, 18 x 18, 15 x 15, 10 x 10, 9 x 9 etc.
b) ¿Cuál es la medida mayor?
90 x 90
 Problema 2.-

En la ferretería tienen dos tambos de 200 litros de capacidad. Uno contiene 150 litros de alcohol y el otro 180 litros de aguarrás. Se decidió mandar hacer varios garrafones del mismo tamaño y capacidad para envasar tanto el alcohol como el aguarrás sin que sobre nada de líquido en los tambos.
a) ¿Es posible que la capacidad de los garrafones sea entre 10 y 20 litros?
b) Escribe tres capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
Antes de ordenar la fabricación de los garrafones, llegó a la ferretería un tercer tambo con 105 litros de cloro. Ahora se necesita que los tres líquidos sean envasados en garrafones con el mismo tamaño y capacidad.
c) Escribe dos capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
d) ¿Cuál será el de mayor capacidad?
Resolvamos la primera parte. Hay que obtener el m.c.d. de 150 y 180:
ejerciciosmcd1.5
Ahora obtengo todos los divisores compuestos de 30, que serán también divisores de 150 y 180:
ejerciciosmcd1.6
Con esta información contesto las preguntas a y b:
a) ¿Es posible que la capacidad de los garrafones sea entre 10 y 20 litros?
Si. Los garrafones pueden ser de 10 ó 15 litros
ejerciciosmcd1.7
b) Escribe tres capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
De 30 litros, de 15 litros, 10 litros, 6 litros, etc…
Resolvamos la segunda parte.
Hay que obtener el m.c.d. de 30 (por ser el máximo común divisor de 150 y 180) y de 105 que son los litros de cloro:
ejerciciosmcd1.8
Y obtener los divisores compuestos de 15:
ejerciciosmcd1.9
Contestamos las preguntas c y d:
c) Escribe dos capacidades diferentes que pueden tener los garrafones.
15 litros, 5 litros, 3 litros, 1 litro
d) ¿Cuál será el de mayor capacidad?
15 litros
Problema 3.-

 ¿Se podrán dividir tres varillas de 20 cm, 24 cm y 30 cm en pedazos de 4 cm sin que sobre ni falte nada en cada varilla?

No. El máximo común divisor de los tres números es 2. 30 no es múltiplo de 4.
ejerciciosmcd2.1
Problema 4.-

Un padre da a un hijo $80, a otro $75 y a otro $60 para repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada pobre y cuántos los pobres socorridos?
La mayor cantidad es $5 y serán socorridos 43 pobres
ejerciciosmcd2.2
Problema 5.-

Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
ejerciciosmcd2.3

Máximo común divisor

Máximo común divisor

“El divisor común de dos o más números es todo número que los divide a todos exactamente “
Ejemplo.
12 es divisible por 2, por 3, por 4,por 6, por 12.
24 es divisible por 2, por 3, por 4,por 6, por 12, por 24.
Los divisores comunes de 12 y 24 son: 2, 3, 4, 6 y 12.
“El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente”

Se designa por las iniciales m.c.d.
El m.c.d de 12 y 24 es 12 (corresponde al divisor común más grande de 12 y 24 ).
Ejemplo: Obtener el m.c.d. de 12 y de 24 por factorización
Se dividen por 2 el 12 y el 24
Escribimos abajo de 12 el cociente 6 y abajo de 24 el cociente 12 (resultado de las divisiones anteriores)
Dividimos ahora el 6 y el 12 por 2 y sus cocientes (3 y 6) se anotan abajo de ellos
Ahora dividimos el 3 por 3 y el 6 por 2 (el 3 no es divisible por 2 exactamente) y sus cocientes 1 y 3 los anotamos abajo del 3 y del 6
Ahora se divide por 3 el 3 y su cociente 1 se pone debajo.
Como los dos números ya tienen como cociente al 1, hemos terminado la Factorización de números
La descomposición en factores primos del 12 es = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
La descomposición en factores primos del 24 es = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3 
El m.c.d. de 12 y de 24 es el producto de todos los factores primos comunes (que están en los dos números = 2 y 3) afectados por su menor exponente (2² y 2³, el menor es ) y el 3 que sólo aparece una vez en cada número.
Por lo tanto el m.c.d. de 12 y de 24 es el producto de 2² x 3 = 12

 mcd

Métodos para hallar el m.c.d.

Existen tres métodos:
a) Por inspección
b) Por divisiones sucesivas
c) Por Factorización de números

a) Por inspección.
Este método se utiliza cuando los números son pequeños.
Consiste en ver si el menor de los números divide a todos los demás y si los divide, éste será el m.c.d. Si no los divide buscamos los divisores de ese número y escogemos al mayor que los divide a todos. Ése será el m.c.d.

Ejemplo. Obtener el m.c.d. de 12, 24 y 48
El número menor 12,divide a 24 (24 ÷ 12 = 2) y también divide a 48 (48 ÷ 12 = 4) Entonces 12 es el m.c.d. de 12, 24 y 48.


Obtener el m.c.d. de 30, 50 y 60. El número menor 30,divide a 60 (60 ÷ 30 = 2) pero no divide a 50 Buscamos los divisores de 30: 2, 3, 5, 6, 10, 15.
Y escojo al mayor de estos divisores que divide a los tres números. 15 no puede ser porque no divide a 50, En este caso el 10 si divide a 30, 50 y 60.
El máximo común divisor (m.c.d.) de 30,50 y 60 es 10

b) Por divisiones sucesivas.
Este método se utiliza cuando los números son más grandes.
Consiste en dividir el mayor de los números dados por el menor. Si la división es exacta, el número menor es el m.c.d. de los números dados.
Si la división es inexacta, se divide el divisor por el primer residuo, el primer residuo por el segundo residuo, éste por el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el m.c.d.

Ejemplo. Obtener el m.c.d. de 1284 y 428
Dividimos al número mayor por el menor: 1284 ÷ 428 = 3 La división es exacta.
Entonces 428 es el m.c.d. de 1284 y 428.
Obtener el m.c.d. de 128 y 460
Dividimos 460 ÷ 128 = 3 y sobran 76, es una división inexacta.
Ahora divido 128 que es el divisor, entre 76 que es mi primer residuo: 128 ÷ 76 = 1 y sobran 52.
Divido el divisor 76 entre mi segundo residuo: 76 ÷ 52 = 1 sobran 24.
Divido el divisor 52 entre el tercer residuo 24: 52 ÷ 24 = 2 y sobran 4.
Divido el divisor 24 entre el cuarto residuo 4: 24 ÷ 4 = 6 y llego a una división exacta.
Al llegar a la división exacta 24 ÷ 4 = 6 llego al m.c.d. de 460 y 128, siendo éste el último divisor que es 4.
El máximo común divisor (m.c.d.) de 128 y 460 es 4
Si al hallar el m.c.d. encontramos un residuo que sea primo y la división siguiente no es exacta, ya no se continua dividiendo y el m.c.d. es 1; porque los números son primos entre sí.

mcddivisiones

c) Por descomposición en factores primos (Factorización de números).
El m.c.d. de varios números descompuestos en factores primos, es el producto de sus factores primos comunes afectados de su menor exponente.
Es decir que los números dados se descomponen en sus factores primos por medio de la factorización, de estos factores primos se escogen los que son comunes a los números; y de éstos se toman los que tengan el menor exponente(que se repiten menos veces).

Ejemplo. Obtener el m.c.d. de 170 y 204
Se dividen por 2 el 170 y el 204
Escribimos abajo de 170 el cociente 85 y abajo de 204 el cociente 102 (resultado de las divisiones anteriores)
Dividimos ahora el 85 ÷ 5 (porque no es divisible por los factores primos 2 y 3) y el 102 ÷ 2 y sus cocientes (17 y 51) se anotan abajo de ellos
Ahora dividimos el 17 ÷ 17 (porque es número primo y sólo se divide por sí mismo y por la unidad) y el 51 ÷ 3 (ya que no es divisible por 2 exactamente) y sus cocientes 1 y 17 los anotamos abajo del 17 y del 51
Ahora se divide por 17 el 17 y su cociente 1 se pone debajo.
Como los dos números ya tienen como cociente al 1, hemos terminado de factorizarlos.
La descomposición en factores primos del 170 es = 2 x 5 x 17
La descomposición en factores primos del 204 es = 2 x 2 x 3 x 17 = 2² x 3 x 17
El m.c.d. de 170 y 204 es el producto de todos los factores primos comunes (que están en los dos números = 2 y 17)afectados por su menor exponente (de 2  y 2², el menor es 2) y el 17 que sólo aparece una vez en cada número.
Por lo tanto el m.c.d. de 170 y de 204 es el producto de 2 por 17 = 34

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Método abreviado

Para hallar el m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos (Factorización de números), se dividen al mismo tiempo todos los números dados por un factor común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente.
El m.c.d. es el producto de los factores primos.
Ejemplo: Obtener el m.c.d. de 48, 36 y 84 .

mcdabreviado

Ejemplos de problemas donde puedo utilizar el m.c.d.

Algunos problemas que puedo resolver con el m.c.d. son los siguientes:
1.- Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?


2.- Se tienen tres varillas de 60 cm, 80 cm, y 100 cm de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre nada. Menciona tres longitudes posibles para cada pedazo.


3.- Si tengo 80 chocolates para guardar en cajas, ¿qué cantidades puedo poner en cada caja sin que sobren chocolates y cuántas cajas necesito?

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