Mínimo común múltiplo

Mínimo común múltiplo

 «El múltiplo común de dos o más números es todo número que contiene exactamente a cada uno de ellos»

Ejemplo.

12 es múltiplo común de 2, de 3, de 4 y de 6.

Porque 12 contiene al 2 seis veces exactamente.

Porque 12 contiene al 3 cuatro veces exactamente.

Porque 12 contiene al 4 tres veces exactamente.

Porque 12 contiene al 6 dos veces exactamente.

«El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos»

Se designa por las iniciales m.c.m.

Ejemplo.

Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, etc…

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, etc….

Los múltiplos comunes de 2 y 8 son: 8, 16, 24, etc….

El m.c.m de 2 y 8 es 8(corresponde al múltiplo común más pequeño de 2 y 8 ).

Para hallar el m.c.m. de varios números se escriben los múltiplos de cada uno de ellos, después seleccionas el primer múltiplo que aparezca en todos los números dados.

Ejemplo. Encontrar el m.c.m de 3,de 5 y de 10.

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90,etc…

Múltiplos de 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, etc…

Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, etc…

Múltiplos comunes de 3, 5 y 10: 30, 60, 90, etc… siendo el primero de éstos el 30.

El m.c.m de 3, de 5 y de 10 es 30

Como puedes ver este procedimiento es largo y tardado, más si se trata de números más grandes. Por ello existen métodos para encontrar el m.c.m. de dos o más números de una forma más sencilla. Los vemos a continuación.

Métodos para hallar el m.c.m.

Existen tres métodos:

a) Por inspección

b) Por el m.c.d. (máximo común divisor)

c) Por la Factorización de números

a).- Por inspección.

Este método se utiliza con números pequeños y el m.c.m. puede hallarse muy fácilmente de este modo.

El m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo del mayor de ellos. Por ello se mira a ver si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás.

Si es así, el mayor de los números dados es el m.c.d.

Ejemplo 1.

Hallar el m.c.m. de 6, 12 y 48.

El número mayor es 48 y contiene exactamente al 6 (8 veces) y al 12 (4 veces).

Entonces el m.c.m. de 6, 12 y 48; es 48

Si no los contiene se busca cuál es el menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente y éste será el m.c.m. de los números dados.
Ejemplo 2.

Hallar el m.c.m. de 3, 5 y 10.

El número mayor es 10 y contiene exactamente al 5 (2 veces)pero no contiene exactamente al 3.

Entonces busco los múltiplos de 10 y cada que escribo un múltiplo veo si éste divide exactamente a 3 y a 5.

Múltiplos de 10: 20(divide exactamente a 5, pero no a 3), 30 (divide exactamente a 3 y a 5).

Cuando llego al múltiplo de 10 que divide exactamente a 3 y a 5, he encontrado el m.c.m.

El 30 es el m.c.m. de 3, de 5 y de 10

   

b).- Por el m.c.d. (máximo común divisor).

«El m.c.m. de dos números es igual a su producto dividido por su m.c.d.»

Ejemplo 1.

Hallar el m.c.m. de 18 y 60.

Primero encontramos el m.c.d. de 18 y de 60 que es 6

Ahora multiplicamos los dos números dados (18 x 60 = 1080) y el resultado lo dividimos entre el m.c.d. (1080 ÷ 6 = 180) para encontrar el m.c.m.

El m.c.m. de 18 y 60 es 180

Caso especial: Si los dos números dados son primos entre sí, el m.c.m. es su producto.

Ejemplo 2.

Hallar el m.c.m.de 15, y 23.

Estos dos números son primos entre sí porque no tienen factores comunes.

Entonces los multiplico para obtener su m.c.m. (15 x 23 = 345)

Y el resultado será el m.c.m.

El 345 es el m.c.m. de 15 y 23

Por el m.c.d. (máximo común divisor) cuando son más de dos números.

Se halla primero el m.c.m. de dos de ellos, luego el del otro de los números dados y el m.c.m. hallado, si hay más números se sigue el mismo procedimiento. El último m.c.m. será el m.c.m. de todos los números dados.

Ejemplo 3.

Hallar el m.c.m. de 3, de 5 y de 10.

Primero encontramos el m.c.d. de 3 y de 5. Como son primos entre sí, su producto será el m.c.m. (3 x 5 = 15)

Ahora busco el m.c.m. de 15 y del tercer número dado que es 10. Encuentro su m.c.d. que es 5. Multiplico 15 x 10 = 150 y lo divido entre su m.c.d. que es 5, 150 entre 5 = 30

El resultado es el m.c.m. de los números dados.

El m.c.m. de 3, de 5 y de 10 es 30

    

c).- Por descomposición en factores primos (Factorización de números)

«El m.c.m. de varios números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de sus factores primos comunes y no comunes (o sea todos), afectados por su mayor exponente»

Ejemplo 1.Hallar el m.c.m. de 18 y 60.

Ejemplo 2.Hallar el m.c.m. de 15, y 23.

Ejemplo 3.Hallar el m.c.m. de 3, de 5 y de 10

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Método abreviado

Para hallar el m.c.m. de varios números al mismo tiempo por descomposición en factores primos, se divide cada uno de los números dados por su menor divisor, se hace lo mismo con los cocientes hasta que todos sean igual a 1. El m.c.m. se forma con el producto de todos los factores primos.

Ejemplo: Obtener el m.c.m. de 3, 5 y 10

Se divide 10 ÷ 2( el 3 y el 5 no se pueden dividir exactamente por 2)

Escribimos abajo de 10 el cociente 5 (resultado de la división anterior)

Los números que no son divisibles por el factor primo 2 (en este caso 3 y 5) se repiten debajo de sí mismo.

Ahora de divide 3 ÷ 3 (ya que el 5 no es divisible por 3) y su cociente 1 se pone debajo.

En seguida dividimos el 5 ÷ 5 y su cociente 1 se pone debajo. Como los tres números ya tienen como cociente al 1, hemos terminado de factorizar.

El m.c.m. de 3, de 5 y de 10 es el producto de todos los factores factores primos: 2 x 3 x 5 = 30

Ejemplos de problemas donde puedo utilizar el m.c.m.

Algunos problemas que puedo resolver con el m.c.m. son los siguientes:

1.- Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con regletas de 2cm, de 5cm y de 8cm

2.- ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten, la primera

12 litros por minuto, la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros por minuto?

3.- Hallar el menor número de bombones necesarios para repartir en tres grupos de 20 alumnos, 25 alumnos y 30 alumnos de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de cada grupo?