Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central

Son medidas que se utilizan en la estadística para resumir información.

Para poderlas realizar se necesita una situación en la que se presentan varios datos (valores).

Estos datos pueden o no repetirse y a las veces que se repite un dato, se le conoce como frecuencia.
Las medidas de tendencia son tres:
a) Media o promedio
b) Moda
c) Mediana

Media aritmética o promedio

Consiste en hallar un número medio entre varios de la misma especie.
Es una cantidad que nos indica la cantidad total dividida en partes iguales.

Se identifica con las letras M o X
Para hallar la media aritmética o promedio de varias cantidades, se suman y esta suma se divide por el total de las cantidades.
Ejemplo:
Hallar la media aritmética o promedio de las siguientes cantidades (estos son los datos o valores):

9, 10, 4, 6, 9, 6, 8, 9, 1, 9, 6, 9, 4

Primero sumo todas las cantidades anteriores. El resultado es 90
El resultado de la suma se divide entre el total de los números sumados:

9 +10 + 4 + 6 + 9 + 6 + 8 + 9 + 1 + 9 + 6 + 9 + 4 = 90

90 ÷ 13 = 6.923

Por lo tanto, la media aritmética o promedio de los datos o valores anteriores es 6.923

M=6.923      o    X = 6.923

El promedio o media aritmética no siempre es el valor representativo de  una situación estadística.

A veces los valores no están distribuidos normalmente, es decir, hay situaciones en las que los  valores son exageradamente mayores o menores con relación a la mayoría; y esto hace que el promedio salga muy alto con relación a los demás y no es un dato realista.

En estos casos, es recomendable utilizar la moda o la mediana como medida representativa de la situación.

Moda

Esta medida consiste en encontrar dato o valor que se repite más veces en el conjunto de valores dados. Es decir, el valor que tiene mayor frecuencia.

Se identifica con las letras Mo
Ejemplo:
En el conjunto

9, 10, 4, 6, 9, 6, 8, 9, 1, 9, 6, 9, 4

la moda es 9 porque es el valor con mayor frecuencia (el que más se repite). Mo = 9

Si en un grupo de datos o valores hay dos con la misma frecuencia, entonces se dice que es bimodal.

Ejemplo:

En el conjunto 9, 10, 4, 6, 9, 6, 8, 9, 1, 9, 6, 9, 4, 6, 6

La frecuencia de 9 y 6 es igual (cinco veces cada uno)  y es la mayor (es decir los valores que más se repiten), por lo tanto es bimodal.

Mo bimodal = 9 y 6

Si hubiera más de tres datos con la mayor e igual frecuencia, entonces sería multimodal.

Por ejemplo: En el conjunto anterior que hubiera tres cuatros más, entonces, el 9, el 6 y el 4 tendrían la misma frecuencia y la más alta, por lo tanto la moda sería multimodal.

9, 10, 4, 6, 9, 6, 8, 9, 1, 9, 6, 9, 4, 6, 6, 4, 4, 4

Mo multimodal = 9, 6, 4

Lo importante es que sea el o los valores que más se repiten.

La moda es representativa de una situación estadística cuando se busca lo que ocurre con mayor frecuencia.

Mediana

Consiste en hallar el valor que se encuentra en el centro del conjunto de datos o valores. Para encontrarla, la condición es que los datos estén ordenados del menor al mayor.

Se identifica con las letras Md

Se pueden dar dos casos.

1.- Cuando el número total de valores es impar.

En este caso, después de ordenar los valores de menor a mayor, la mediana es el valor que queda al centro de la serie.
Ejemplo:
Encontrar la mediana del conjunto:

9, 10, 4, 6, 9, 6, 8, ,9, 1, 9, 6, 9, 4

Primero hay que ordenarlos de menor a mayor:

1, 4, 4, 6, 6, 6, 8, ,9, 9, 9, 9, 9, 10

Son trece valores, el trece es impar.

Ahora, localizar el que se encuentra en el centro. quedan seis datos antes del centro y seis después.

1, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10

La mediana de este conjunto es 8.

Md = 8

2.- Cuando el número total de valores es par.

En este caso se localizan los dos valores que quedan al centro, se suman y el resultado se divide entre dos (es decir, se promedian los dos valores) para encontrar la mediana.

Ejemplo. En el conjunto 9, 10, 4, 6, 9, 6, 8, ,9, 1, 9, 6, 9, 4, 6

Los datos del conjunto son catorce (que es número par), entonces ordeno de mayor a menor y busco los dos que quedan al centro de la serie

1, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10,6

Ahora saco el promedio de 8 y 9

8 + 9 = 17 ÷ 2 = 8.5

La mediana es 8.5

Md = 8.5

La mediana es representativa de una situación estadística cuando los valores tienen varios valores con la misma frecuencia y varios valores comparativamente extremosos, ya sea bajos o altos con relación a los demás.

La mediana deja a la mitad de valores más pequeños a su izquierda y a la mitad de datos más grandes a su derecha.

Es más representativa porque indica que por lo menos el 50% de los datos son más pequeños que ella y el otro 50% es mayor.

Cuando tenemos información relacionada con un tema, ésta se puede organizar en tablas de frecuencia para poder obtener las medidas de tendencia central vistas anteriormente.
Veamos un ejemplo:

En la ciudad de Atlixco, Puebla, existen tres empresas textiles, de las cuales se tomó una muestra de 15 empleados de cada una para investigar sus salarios en pesos. La siguiente tabla muestra los resultados:

Lo primero que tengo que hacer es organizar los datos de menor a mayor y escribir la frecuencia con la que se presenta cada salario, en cada una de las empresas:

Con la información ordenada, puedo realizar la suma de los salarios de cada una de las empresas y dividirla entre el total de empleados para obtener el promedio:

También puedo obtener la moda de cada una de las empresas. El 1000 es la moda de la primera empresa ya que se repite cuatro veces, el 600 la de la segunda, se repite seis veces, y el 1400 la de la tercera, se repite siete veces:

Y por último puedo encontrar la mediana. En la primera empresa el dato que queda al centro es $1000, en la segunda empresa el dato es $900 y en la tercera es $ es $1400.

La mediana de las tres empresas, sabiendo que son 45 datos (15 de cada empresa), el centro estará en el número 23. Si sumo el total de veces que se repite cada salario, me doy cuenta que el 23 estará en el salario $1400

Esto lo puedes comprobar escribiendo los 45 salarios y señalando el que se encuentra en el lugar 23: