Sucesión aritmética

 Sucesión aritmética 

Es un conjunto de números llamados términos, en el cual la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma, es la regularidad de la sucesión
Observa la siguiente sucesión:

2, 4, 6, 8, 10…

Estos números reciben el nombre de términos, es decir que en esta secuencia aritmética tengo 5 términos:

2, 4, 6, 8, 10…
1, 2, 3, 4, 5…

Los términos consecutivos son los que están juntos:
2 y 4 son términos consecutivos.
4 y 6 son términos consecutivos.
6 y 8 son términos consecutivos, etc.
La diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma, es la regularidad de la sucesión aritmética.
4 – 2 = 2
6 – 4 = 2
8 – 6 = 2
10 – 8 =2

Veamos otro ejemplo:

3, 6, 12, 24, 48…

La diferencia entre dos términos consecutivos NO es la misma,
6 – 3 = 3
12 – 6 = 6
24 – 12 = 12
48 – 24 =24

IMPORTANTE:
SI LA REGULARIDAD DE LA SUCESIÓN NO ES UNA SUMA O DIFERENCIA SIEMPRE IGUAL, ENTONCES NO ES UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA, SINO UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA; Y ES OTRO TEMA QUE EXPLICAREMOS DESPUÉS.
En esta ocasión nos enfocaremos a la sucesión aritmética.
Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.
Si una sucesión aumenta de 7 en 7, ¿cuáles son los primeros 10 términos si inicia en 4?
Los términos son los números que cumplen con la condición de ir aumentando de 7 en 7.
Si me piden los diez primeros términos, iniciando por el 4, a partir de éste voy ir sumando 7 a cada número.
4 + 7 = 11, 11 + 7 =18, 18 + 7 = 25, etc.
Los 10 primeros números de la sucesión aritmética son:

4,  11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67
1    2    3    4    5     6    7    8   9    10

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; representan a los términos.
Si me preguntan cuál es el término 5, diría que es 32; si me preguntan por el término 2, diría que es 11; si me preguntan por el término 7, diría que es 46; etc.
Los términos consecutivos son los que están juntos.
18 y 25 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 7 unidades de diferencia. 25 – 18 = 7. Esta diferencia de 7 es la regularidad.
46 y 53 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 7 unidades de diferencia. 46 – 53 = 7. Esta diferencia es la regularidad
32 y 39 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 7 unidades de diferencia. 39 – 32 = 7. Esta diferencia es la regularidad
Si me preguntan qué número será el término 15 de la serie, tendré que sumar:
67 + 7 = 74, que será el término 11;
74 + 7 = 81, que será el término 12;
81 + 7 = 88, que será el término 13;
88 + 7 = 95, que será el término 14;
95 + 7 = 102, que será el término 15;
El término pedido será el número 102.
Concluyendo:
Números de la secuencia: 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67……….102
Términos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…..15
Regularidad: Cada término se determina sumando 7 al término anterior.

Ejemplo 2.
¿Cuáles son los 10 primeros términos de una sucesión, si inicia en 9 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 12?
Los términos son los números que cumplen con la condición de ir aumentando de 12 en 12.
Me piden los diez primeros términos iniciando por el 9, a partir de él voy ir sumando 12 a cada número.
9 + 12 = 21, 21 + 12 = 33, 33 + 12 = 45, etc.
Los 10 primeros números de la sucesión aritmética son:

9, 21, 33, 45, 57, 69, 81, 93, 105, 117
1    2    3    4    5    6    7    8      9    10

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; representan a los términos.
Si me preguntan cuál es el término 3, diría que es 33; si me preguntan por el término 6, diría que es 69; si me preguntan por el término 9, diría que es 105; etc.
Los términos consecutivos son los que están juntos.
9 y 21 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 12 unidades de diferencia: 21 – 9 = 12. Esta diferencia de 12 es la regularidad
105 y 117 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 12 unidades de diferencia: 117– 105 = 12. Esta diferencia es la regularidad.
69 y 81 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 12 unidades de diferencia: 81 – 69 = 12. Esta diferencia es la regularidad.
Si me preguntan qué número será el término 50 de la serie, tendré que sumar:
117 + 12 = 129, que será el término 11;
129 + 12 = 141, que será el término 12;
141 + 12 = 153, que será el término 13;
153 + 12 = 165, que será el término 14;
165 + 12 = 177, que será el término 15; y así sucesivamente hasta llegar a
597 que es el término 50.
El término pedido será el número 597.
Concluyendo:
Números de la secuencia: 9, 21, 33, 45, 57, 69, 81, 93, 105, 117…..597
Términos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10………50
Regularidad: Cada término se determina sumando 12 al término anterior.

Ejemplo 3.
Si una sucesión aumenta de 1.5 en 1.5, ¿cuáles son los primeros 10 términos si el primero es 0.5?
Los términos son los números que cumplen con la condición de ir aumentando de 1.5 en 1.5
Me piden los diez primeros términos, iniciando por el 0.5, voy ir sumando 1.5 a cada número.
0.5 + 1.5 = 2, 2 + 1.5 = 3.5, 3.5 + 1.5 = 5, etc.
Los 10 primeros números de la sucesión aritmética son:

0.5,  2,  3.5,  5,  6.5,  8,  9.5,  11,  12.5, 14
   1   2     3    4     5    6     7      8       9    10

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; representan a los términos.
Si me preguntan cuál es el término 1, diría que es 0.5; si me preguntan por el término 6, diría que es 6.5; si me preguntan por el término 10, diría que es 14; etc.
Los términos consecutivos son los que están juntos.
0.5 y 2 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 1.5 unidades de diferencia: 2 – 0.5 = 1.5 que es la regularidad.
3.5 y 5 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 1.5 unidades de diferencia: 5 – 3.5 = 1.5 que es la regularidad.
11 y 12.5 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 1.5 unidades de diferencia: 12.5 – 11 = 1.5 que es la regularidad.
Concluyendo:
Números de la secuencia: 0.5, 2, 3.5, 5, 6.5, 8, 9.5, 11, 12.5, 14
Términos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Regularidad: Cada término se determina sumando 1.5 al término anterior

Ejemplo 4.
¿Cuáles son los primeros 10 términos de una sucesión si el inicial es 2/3 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1/6?
Los términos son los números que cumplen con la condición de ir aumentando de 1/6 en 1/6
Me piden los diez primeros términos iniciando por 2/3, a partir de éste voy ir sumando 1/6 a cada número.
Si cambio 2/3 a fracción equivalente 4/6, me será más fácil resolver al ir aumentando 1/6
4/6 + 1/6 = 5/6, 5/6 + 1/6 = 6/6, 6/6 + 1/6 = 7/6, etc.
Los 10 primeros números de la sucesión aritmética son:

4/6, 5/6, 6/6, 7/6, 8/6, 9/6, 10/6, 11/6, 12/6, 13/6,
  1     2     3     4     5     6       7      8       9      10

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; representan a los términos.
Si me preguntan cuál es el término 4, diría que es 8/6; si me preguntan por el término 5, diría que es 9/6; si me preguntan por el término 6, diría que es 10/6; etc.
Los términos consecutivos son los que están juntos.
8/6 y 9/6 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 1/6 de diferencia: 9/6 – 8/6 = 1/6 que es la regularidad
12/6 y 13/6 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 1/6 de diferencia: 13/6 – 12/6 = 1/6 que es la regularidad
4/6 y 5/6 son dos términos consecutivos, entre ellos debe haber 1/6 de diferencia: 5/6 – 4/6 = 1/6 que es la regularidad
Concluyendo:
Números de la secuencia: 4/6, 5/6, 6/6, 7/6, 8/6, 9/6, 10/6, 11/6, 12/6, 13/6
Términos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Regularidad: Cada término se determina sumando 1/6 al término anterior.
Si gustas puedes simplificar las fracciones.
2/3, 5/6, 1, 11/6, 11/3, 11/2, 12/3, 15/6, 2,   2 1/6,
Te puse varios ejemplos porque me interesa que te queden bien claros cuáles son los números de la secuencia, los términos de la secuencia y la regularidad de la secuencia.
Quiero que los tengas bien claros porque te voy a explicar una fórmula con la que puedes obtener cualquier término de una secuencia aritmética, sin necesidad de realizar todas las sumas para llegar al resultado. Habrá ejercicios que podrás resolver sin la fórmula, pero otros en donde te será muy útil y es bueno que te familiarices con ella.
La fórmula es la siguiente:

a n + b =

En donde:
a = regularidad
n = términos
b =?

Observa cómo funciona la fórmula. Trabajaré con los ejemplos anteriores. Trataré de ser lo más clara posible.

Ejemplo 1.
Si una sucesión aumenta de 7 en 7, ¿cuáles son los primeros diez términos si inicia en 4?
Voy a trabajar la fórmula con los dos primeros términos de la sucesión.
Sé que el primero es 4 y el segundo es 4 + 7 = 11.
4, 11,
1 2
Despejaré la fórmula para obtener el valor de b y poder obtener los otros 8 términos de la sucesión. Como resultado se pone el primer número de la sucesión, en este caso, 4.

a n + b = 4

En donde:
a = regularidad:4 = 7
n = términos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
b =?
Sustituyendo a por la regularidad (7), n por el primer término (1) y como resultado el valor del primer término, en este caso 4;la fórmula me queda así:

a n + b = 4
(7) (1) + b = 4
7 + b = 4
b = 4 – 7
b = – 3

Observa que el 7 pasa a la derecha de la igualdad cambiando el signo. El resultado es negativo, quiere decir que en lugar de sumar en la fórmula, se va a restar (no siempre sucede esto, ya veremos otros ejemplos). Con este valor de b = – 3, puedo obtener cualquier número de la serie utilizando la fórmula.
Ya tengo el primero y segundo términos de los 10 que me piden, ahora voy a obtener los demás con la fórmula sin el resultado 4.
Observa cómo obtener los términos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10:

a n + b =
(7) (3) – 3 = 18
(7) (4) – 3 = 25
(7) (5) – 3 = 32
(7) (6) – 3 = 39

Obtendré el término quince sin necesidad de todos los anteriores:

(7) (15) – 3 = 102

Ejemplo 2.

¿Cuáles son los 10 primeros términos de una sucesión, si inicia en 9 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 12?
Con esta información tengo los dos primeros términos: 9 y 9 + 12 = 21
Obtendré la fórmula de esta sucesión aritmética.
9, 21,
1 2
Despejaré la fórmula para obtener el valor de b. Como resultado se pone el primer número de la sucesión, en este caso, 9

a n + b = 9
(12) (1) + b = 9
12 + b = 9
b = 9 – 12
b = – 3

Obtendré los demás términos:

a n + b =
(12) (3) – 3 = 33
(12) (4) – 3 = 45
(12) (5) – 3 = 57
(12) (6) – 3 = 69
(12) (7) – 3 = 81
(12) (8) – 3 = 93
(12) (9) – 3 = 105
(12) (10) – 3 = 117

Y el término 50 que se me pidió lo puedo obtener sin necesidad de tener los anteriores:

(12) (50) – 3 = 597

Ejemplo 3.
Si una sucesión aumenta de 1.5 en 1.5, ¿cuáles son los primeros 10 términos si el primero es 0.5?
El primer término es 0.5 y el segundo es 0.5 + 1.5 = 2
Obtendré con la fórmula el valor de b para esta sucesión:

a n + b = 0.5
(1.5) (1) + b = 0.5
1.5 + b = 0.5
b = 0.5 – 1.5
b = – 1

Con el valor de b obtengo los demás números de la sucesión aritmética:

a n + b =
(1.5) (3) – 1 = 3.5
(1.5) (4) – 1 = 5
(1.5) (5) – 1 = 6.5
(1.5) (6) – 1 = 8
(1.5) (7) – 1 = 9.5
(1.5) (8) – 1 = 11
(1.5) (9) – 1 = 12.5
(1.5) (10) -1 = 14

El tema de la sucesión geométrica lo veremos en otro apartado.