Sucesión geométrica

Sucesión geométrica

Es un conjunto de números llamados términos, en el cual el cociente entre dos términos consecutivos siempre es el mismo, es la regularidad de la sucesión
Observa la siguiente sucesión:
½, 2, 8, 64…
Estos números reciben el nombre de términos, es decir que en esta secuencia o progresión geométrica tengo 4 términos.

Los términos consecutivos son los que están juntos:
½ y 2 son términos consecutivos.
2 y 8 son términos consecutivos.
8 y 64 son términos consecutivos, etc.
El cociente entre dos términos consecutivos siempre es el mismo y recibe el nombre de razón de la sucesión geométrica.
La razón se obtiene dividiendo cada término por su antecesor. En la sucesión anterior quedaría así:

Por lo tanto, la razón de esta sucesión es 4.
Si te piden el término que sigue en la sucesión, tendrás que multiplicar el último término por cuatro, siendo la respuesta el número 128.
Como en la sucesión aritmética, también en esta sucesión puedes utilizar una fórmula para obtener los términos que se te solicita. A veces los ejercicios son sencillos y los puedes ir obteniendo fácilmente, pero en otras, o es más complicado, o te solicitan términos muy lejanos a los que estás trabajando, por ejemplo tienes cuatro términos y te piden el término cincuenta. En estos casos la fórmula te será de mucha utilidad.
En esta fórmula se trabaja con potencias, es decir, un número se multiplica por sí mismo varias veces.
Por ello vamos a recordar cómo se trabaja con ellas.
Si tengo un número elevado a la cero potencia, el resultado es 1.
4° = 1, 12° = 1, 2° = 1
Si tengo un número elevado a la primera potencia, el resultado es el mismo número.
4¹ = 4, 12¹ = 12, 2¹ = 2
Si tengo un número elevado a la segunda potencia, la base se multiplica por si dos veces
4² = 4 x 4 = 14, 12² = 12 x 12 = 144, 2² = 2 x 2 = 4
Si tengo un número elevado a la tercera potencia, la base se multiplica por sí misma tres veces
4³ = 4 x 4 x 4 = 64, 12³ = 12 x 12 x 12 = 1728, 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
Es decir que el exponente (el número pequeño que aparece en la parte superior derecha) te indica cuántas veces vas a multiplicar la base (el número que tiene el exponente) por sí misma.
Ahora pasemos a la fórmula para los términos de la sucesión geométrica. Es la siguiente:

a por r a la n potencia menos 1.

En donde a es desconocido, r es la razón del segundo término entre el primero, y n es el término.

Observa el ejemplo 1 ejemplo.
Escribe los ocho primeros términos de la sucesión siguiente:

Primero obtenemos la razón del segundo término entre el primero:
6 ÷ 3 = 2
Y con este dato empiezo a trabajar con la fórmula.

Sustituyo en la fórmula r por el valor de la razón, n por el 1 que equivale al primer término y como resultado pongo el primer número de la sucesión:

Ahora realizo la resta indicada en el exponente:

Date cuenta que el resultado es una base elevada a la cero potencia, por lo que el resultado es 1

Al multiplicar a por 1 el resultado es a, por lo que su valor es 3:

Con este resultado puedo obtener todos los términos de la sucesión que desee. Veamos:
Para encontrar el valor del segundo término, sustituyo n por 2:

Y ya tengo el segundo término.
Para obtener el tercer término, sustituyo n por 3; y así continúo hasta obtener los ocho términos solicitados:

La sucesión sería ésta:

Como esta sucesión es sencilla, puedes realizarla fácilmente al ir multiplicando por 3 cada término. Pero si sólo te pidieran el término 15, sería muy tediosos estar realizando todas las multiplicaciones hasta llegar a la de 15. Con la fórmula es más sencillo, sólo sustituyes n por 15:

El término 15 de esta sucesión sería:

Mientras las sucesiones sean sencillas, puedes resolverlas sin fórmula.
Ejemplo 2:
Completa la siguiente sucesión:

Obtengo la razón dividiendo el segundo término entre el primero. La razón es 4, por ello voy a ir multiplicando cada término por 4:

Ejemplo 3.
Qué términos faltan en la siguiente sucesión:

La razón entre el segundo término y el primero es 28 ÷ 4 = 7
Multiplico cada término por 7.

Para determinar si un número pertenece o no a una sucesión geométrica basta con identificar la razón de dos términos consecutivos y después ir multiplicando o dividiendo (según sea el caso) cada término por la razón encontrada hasta llegar al número dado.
Si al multiplicar un término por la razón, el resultado es mayor que el dado, este número no será término de la sucesión dada.
Ejemplo 4.
Tenemos la siguiente serie:

Los números 19 683 y 25 789 ¿pertenecen a esta sucesión?
Primero encuentro la razón del segundo término entre el primero:

Sabiendo que la razón es 3 , es decir que cada término anterior se va multiplicando por 3 para obtener al siguiente, empiezo a multiplicar el último término dado por 3 y así sucesivamente hasta comprobar si es término o no de la sucesión:

Como puedes ver, el número 19 683 si resulta de multiplicar un término de la sucesión por 3, por lo tanto, si forma parte de la sucesión.
Y el número 25 789 no pertenece a la sucesión, ya que en la siguiente multiplicación podemos ver que resulta 59 049 y éste número es mayor que 25 789.
El número 19 683 ocupa el octavo lugar de la sucesión dada.
Ejemplo 5.
Con base en las siguientes figuras contesten lo que se pide. Consideren como unidad de medida el cuadro:

a) ¿Cuál es la sucesión numérica que representa las áreas de los triángulos?
b) ¿Cuál será el área de los triángulos en las figuras 6, 7 y 8?
Primero identifico las áreas del primero y segundo triángulos, éstos serán los términos primero y segundo de la sucesión. El primero tiene un área de ½ unidad y el segundo 2 unidades. Por lo tanto la serie inicia así:

Ya tengo el primero y el segundo término de esta sucesión.
Ahora encuentro la razón del segundo término entre el primero:

Trabajo con la fórmula sustituyendo valores para obtener el de a. r es igual a 4, n es igual a 1, y el resultado es el valor del primer término: ½

El valor de a es ½ ó 0.5
Ahora que ya tengo todos los valores de la fórmula, puedo obtener los términos de la serie que me piden:

La sucesión de números que corresponde a las áreas de las figuras es:

Las áreas de los triángulos en las figuras 6, 7 y 8 es: