División y división abreviada

División

«La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de esos factores (divisor), hallar el otro factor (cociente)»

Dada esta definición podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro (divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo.
El cociente indica cuántas veces el dividendo contiene al divisor.
Ejemplo.
Dividir 32 ÷ 4 = 8
Porque 8 x 4 = 32
El cociente 8 indica que el dividendo 32 contiene ocho veces al divisor 4.

División exacta

La división es exacta cuando existe un número entero que multiplicado por el divisor, da el dividendo, es decir cuando el dividendo es múltiplo del divisor.
Ejemplo.
32 ÷ 4 = 8
El número entero 8 es el cociente exacto de 32 entre 4
Porque 32 es múltiplo de 4

División inexacta

La división es inexacta cuando no existe ningún número entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo, es decir cuando el dividendo no es múltiplo del divisor y hay residuo diferente a cero.
Ejemplo.
28 ÷ 5 = 5 y sobran 3
El número entero 5 es el cociente inexacto de 28 entre 5
Porque 28 no es múltiplo de 5. Si del dividendo 28 restamos el producto de
5 x 5 la diferencia es 3 y es lo que llamamos residuo por defecto.

División como resta abreviada

La división es una resta abreviada en la cual el divisor se resta todas las veces que se pueda del dividendo y el total de restas que se realizan representa el cociente.
Ejemplo 1.
32 ÷ 8 = 4
Esta división como resta abreviada quedaría así:
1). 32-8=24
2). 24-8=16
3). 16-8=8
4). 8-8=0
Como puedes ver, se realizaron 4 restas. Este 4 (las restas) representa al cociente.
Ejemplo 2.
42 ÷ 8 = 5 y sobran 2
Esta división como resta abreviada quedaría así:
1). 42-8=34
2). 34-8=26
3). 26-8=18
4). 18-8=10
5). 10-8=2
Como puedes ver, se realizaron 5 restas y sobraron 2 unidades. El 5 (las restas) representa al cociente y el 2 (lo que sobra de las restas) equivale al residuo.

División por la unidad seguida de ceros

A esta división se le conoce también como división abreviada, ya que para resolverla puedes no seguir el procedimiento general y la puedes abreviar basándote en los ceros que contiene el divisor.

Veamos cómo resolverlas.

Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros, se separan de su derecha, con un punto decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad; porque con ello el valor relativo de cada cifra se hace tantas veces menor como indica el divisor.
Ejemplo.
328 ÷ 10 = 32.8
Porque la unidad del divisor (10) se acompaña de 1 cero, recorrí el punto decimal de derecha a izquierda un lugar.
48965 ÷ 10,000 = 4.8965
Porque la unidad del divisor (10,000) va acompañada de 4 ceros, recorrí el punto decimal de derecha a izquierda cuatro lugares.

2956 ÷ 100 = 29.56 

ya que el divisor 100 va acompañado de dos ceros, recorro el punto decimal dos lugares de derecha a izquierda.

Además de las divisiones abreviadas entre divisores múltiplos de 10, también están las divisiones abreviadas entre 5, entre 25, entre 125; por ser números que se relacionan directamente con los múltiplos de 10.

Veamos ejemplos.

División abreviada entre 5

485 ÷ 5 = 

Para resolverla se multiplica el dividendo por 2 y se divide entre 10, es decir, se recorre el punto decimal un lugar de  derecha a izquierda:

485 ÷ 5 = 485 x 2 ÷ 10 = 970 ÷ 10 =97

Otro ejemplo:

5970 ÷ 5 = 5970 x 2  ÷  10 =

En este ejemplo puedo eliminar un cero en 5970 y en 10 para abreviar la división:

5970 ÷ 5 = 597 x 2  ÷  1 = 1194

División abreviada entre 25

Dividamos

12,125 ÷ 25 =

Para resolverla se multiplica el dividendo por 4 y se divide entre 100, es decir, se recorre el punto decimal dos lugares de  derecha a izquierda:

12,125 ÷ 25 = 12,125 x 4 ÷ 100 = 48,500 ÷ 100 = 485

Otro ejemplo:

3000 ÷ 25 = 300 x 4 ÷ 100 = 12,000 ÷ 100 = 

En este ejemplo puedo eliminar dos ceros en 12,000 y en 100 para abreviar la división:

3000 ÷ 25 = 300 x 4 ÷ 100 = 120 ÷ 1 = 120

División abreviada entre 125

Dividamos

36892  ÷ 125 =

Para resolverla se multiplica el dividendo por 8 y se divide entre 1000, es decir, se recorre el punto decimal tres lugares de  derecha a izquierda:

36892÷ 125 = 36892 x 8 ÷ 1000 = 295,136 ÷ 1000 = 295.136

Otro ejemplo:

8700 ÷ 125 = 8700 x 8 ÷ 1000 = 69600 ÷ 1000 = 

En este ejemplo puedo eliminar dos ceros en 69600 y en 1000 para abreviar la división:

8700 ÷ 125 = 8700 x 8 ÷ 1000 = 696 ÷ 10 = 69.6

Ahora te puede parecer complicado el procedimiento de la división abreviada, pero con la práctica verás que es sencillo.

Número de cifras del cociente

El cociente tiene siempre una cifra más que las cifras que quedan a la derecha del primer dividendo parcial.
Ejemplo 1.
Al dividir 318 ÷ 3.
Separamos en el dividendo (318) para empezar la operación la primera cifra que sería su primer dividendo parcial, en este caso 3 entre 3
(porque es el número que se puede dividir entre 3) quedando a la derecha 18 formado por dos cifras
El cociente de esta división tendrá una cifra más que estas dos que quedaron a la derecha, o sea, tres cifras.
318 ÷ 3 = 106 (cociente de tres cifras)
Ejemplo 2.
Al dividir 567609 ÷ 453.
Separamos en el dividendo (567609) para empezar la operación la primera cifra que sería su primer dividendo parcial, en este caso 567 (porque es el número que se puede dividir entre 453) quedando a la derecha 609 formado por tres cifras.
El cociente de esta división tendrá una cifra más que estas tres que quedaron a la derecha, o sea, cuatro cifras.
567609 ÷ 453 = 1253 (cociente de cuatro cifras).

PRUEBA Y COMPROBACIÓN DE LA DIVISIÓN

La prueba de la DIVISIÓN puede verificarse de tres modos. Modo 1. Multiplicando el divisor por el cociente y sumándole el residuo (en caso de que haya). Tiene que darnos como resultado el dividendo si la división está correcta.

Modo 2. Si la división es exacta, dividiendo el dividendo entre el cociente, tiene que darnos como resultado el divisor. Si no es exacta, se resta el residuo del dividendo y la diferencia dividida entre el cociente tiene que dar el divisor.

Modo 3. Por la prueba del 9.Se halla el residuo entre 9 del divisor y del cociente, se multiplican estos dos residuos y al producto que resulte se le añade el residuo entre 9 del residuo de la división si lo hay. El residuo entre 9 de esta suma, tiene que ser igual, si la operación está correcta; al residuo entre 9 del dividendo.

Leyes de la división

Las leyes de la división son tres:
1. Ley de uniformidad
2. Ley de monotonía
3. Ley distributiva
 1. LEY DE UNIFORMIDAD 

Se enuncia de dos formas:
a) El cociente de dos números tiene un valor único o siempre es igual.
Ejemplo:

El cociente 40 ÷ 8  tiene un valor único que es 5

porque 5 es el único número que multiplicado por 8 da 40.

b) Como dos números iguales son el mismo número, se tiene que :

Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad.

Ejemplo:

2. LEY DE MONOTONÍA

Consta de tres partes:

a) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre una igualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Ejemplos:

En el ejemplo puedes ver que la desigualdad del resultado, tiene el mismo sentido que el dividendo (el dividendo tiene el signo mayor que, el resultado tiene el signo mayor que).

b) Si una igualdad (dividendo) se divide entre una desigualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor.

Ejemplo:

En el ejemplo puedes observar que el divisor 5 > 4 tiene signo mayor que, por lo tanto el resultado tendrá el signo contrario, que es menor que: 4 < 5

c) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad  de sentido contrario (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

Ejemplo:

3. LEY DISTRIBUTIVA

a) Cociente de una suma entre un número

Para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por ese número y se suman los cocientes.

Ejemplos:

15 ÷ 5 + 20 ÷ 5 será el cociente buscado si multiplicado  por el divisor 5 resulta el dividendo (15 + 20)

Por la ley distributiva de la multiplicación tenemos:

el cinco como factor y divisor se suprime.

b)Cociente de una resta entre una división

Para dividir una resta indicada entre un número, se divide el minuendo y el sustraendo por este número y se restan los cocientes parciales.

Ejemplo:

c) Cociente de una suma algebraica entre un número.

Se divide cada término por dicho número poniendo delante el signo + si el número es positivo, o el signo – si es negativo.

Ejemplo:

d) Cociente de un producto entre un número

Se divide uno solo de los factores del producto por dicho número.

Ejemplo:

e) Cociente de un producto entre uno de sus factores

Basta suprimir ese factor en el producto.

Ejemplo:

Ejemplos resueltos 1 aquí

Ejemplos resueltos 2 aquí
Ejemplo 3

Ejemplos resueltos 4

Ejemplos resueltos 5