Ejemplos resueltos. Área y volumen de pirámides

Ejemplos resueltos

Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Recordemos  los elementos de una pirámide

área_volumen_pirámide1

Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer:

  1. El área de la base (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide.
  2. El perímetro de la base(pb ), que es la longitud de todas las caras.
  3. La apotema de la base (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado.
  4. La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral.
  5. La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.

Si deseas el formulario para obtener el volumen haz clic aquí

Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de una pirámide son las siguientes:

área_volumen_pirámide2

Ejemplos de ejercicios de área y volumen de una pirámide.

1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema

indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:

área_volumen_pirámide3

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

área_volumen_pirámide4

área_volumen_pirámide4.1

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular.  Es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).

área_volumen_pirámide5

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

área_volumen_pirámide6

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

área_volumen_pirámide7

2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m;  y el apotema de la base 0.60m

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.

área_volumen_pirámide8

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

área_volumen_pirámide9

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono.  Es el área coloreada.

área_volumen_pirámide10

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.

área_volumen_pirámide11

 

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

área_volumen_pirámide12

3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular  cuyas medidas son las siguientes:

área_volumen_pirámide13

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.

Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

 

piramide1

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero.  Es el área coloreada.

área_volumen_pirámide15

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.

área_volumen_pirámide16

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:

piramide4

Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.

Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C²  = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² –  A²;.

Veamos en la siguiente imagen:

piramide2

Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:

piramide3

 

 

Otros ejemplos relacionados. Ejercicio 1

25 thoughts on “Ejemplos resueltos. Área y volumen de pirámides

  1. Encontré un error, no quiero ser negativo pero es lo que estoy buscando y nadie puede decirme. La altura de una de las caras de el triángulo nunca puede ser igual a la altura de la pirámide, ya que la cara de la pirámide esta inclinada y la altura es una línea recta entre el centro de la base de la pirámide y la cúspide de la misma por lo tanto no se corresponden

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    • Así es Federico. La altura del triángulo que forma una cara siempre es diferente a la altura de la pirámide.
      Si te fijas en los ejemplos que expongo, en la pirámide cuadrangular la altura de la pirámide es 12 cm. y la del triángulo de la cara es 13 cm.
      En la pirámide pentagonal la altura de la pirámide es 3.20m y la del triángulo de la cara es 3.325576m
      En la pirámide triangular la altura del triángulo de la cara es 12 cm. y la altura de la pirámide no se da, pero con el Teorema de Pitágoras la puedes obtener (restando 12² – 2.595² = 144 – 6.734025 = 137.265975 y sacas raíz cuadrada a esta cantidad, quedando 11.7160cm). Como ves, en los tres casos la altura de la pirámide no es igual a la del triángulo de la cara de la pirámide.

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      • De hecho, la altura de la pirámide triangular tampoco es 10.8198.
        Tienes razón en que se obtiene con el teorema de pitágoras, pero tu error fue que utilizaste como medida los 5.19 cm que mide la altura de la base cuando deberías haber tomado la mitad de eso.
        Esto debido a que la altura de la piramide va desde el centro de la base hacia el vertice,
        y del centro de la base hasta uno de los aristas la medida sería 2.595 quedando la fórmula como se muestra a continuación:

        Altura de la pirámide (h) = \sqrt\(12^2-2.595^2)
        Siendo \sqrt\ el símbolo de raíz cuadrada y “^” la elevación a potencia.

        Por lo tanto, la altura de la pirámide sería de: 11.7160

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