Simplificación de fracciones.

Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores.

Ejemplo 1: Simplificar 80/120

Se dividen los dos términos sucesivamente por sus factores comunes (Factorización de números).

80 y 120 se pueden dividir entre 2 = 40 y 60

40 y 60 se pueden dividir entre 2 = 20 y 30

20 y 30 se pueden dividir entre 2 = 10 y 15

10 y 15 no son divisibles ni entre 2, ni 3 ni 4. Por lo tanto los dividimos entre 5 = 2 y 3

2 y 3 son primos entre sí. Estos dos números son el numerador y el denominador de la fracción simplificada.

Por lo tanto la fracción 80/120 se puede simplicar a 2/3

Como puedes ver este procedimiento de hacer divisiones puede ser tedioso cuando se trate de números más grande.

Para evitarlo, se puede reducir una fracción a su más simple expresión hallándose el m.c.d. de los dos términos de la fracción y dividiendo el numerador y el denominador por su m.c.d.

Ejemplo 1: Simplicar 80/120

Por medio de la Factorización de números se halla su m.c.d. que es 40

El numerador 80 se divide entre 40 = 2

El denominador 20 se divide entre 40 = 3

Con los dos cocientes ( 2 y 3 ) se forma la nueva fracción simplificada.

Por lo tanto la fracción 80/120 se puede simplicar a 2/3

Ejemplo 2: Simplicar 357/680

Como 357 y 680 son números grandes, no podemos asegurar a simple vista, si son primos entre sí.

Para averiguarlo hallamos el m.c.d. de 357 y 680.

Si son primos entre sí su m.c.d será 1, si no lo son, sus factores comunes aparecerán en el m.c.d.

Después de la Factorización de números  357 y 680 podemos ver que tienen como factor común al 17

Por lo tanto no son números primos entre sí; y para simplificar la fracción dividimos los dos términos entre 17

357 ÷ 17 = 21 y 680 ÷ 17 = 40

Por lo tanto la fracción 357/680 se puede simplificar a 21/40 que son números primos entre sí.

Reducción de fracciones al mínimo común denominador

Se simplifican las fracciones dadas, después se halla el m.c.m. de los denominadores y éste será el denominador común

Para hallar los numeradores, se divide el m.c.m. entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador correspondiente.

Ejemplo 1: Simplicar 18/24 y 32/64

Simplificando fracciones nos quedan 3/4 y 1/2

Hallamos el m.c.m. de los denominadores 4 y 2

Como 4 es múltiplo de 2, entonces 4 es el m.c.m.

Para hallar los numeradores divido el m.c.m. 4 entre el denominador de la primera fracción (4 ÷ 4 = 1) y el cociente 1 se multiplica por el numerador de esa fracción (1 x 4 = 4) y éste es el primer numerador

Realizamos el mismo procedimiento con la segunda fracción (1/2), divido el m.cm. 4 ÷ 2 = 2 y´este cociente lo multiplico por el numerador 1 = 2

Las fracciones que me han quedado son 3/4 y 2/4
Este procedimiento es muy útil en la resolución de operaciones con fracciones.

Ejemplo 1 Ejercicios resueltos

Ejemplo 2 Ejercicios resueltos

Ejemplo 3 Ejercicios resueltos

Ejemplo 4

Reducción de fracciones

Reducción de fracciones

Convertir un mixto a fracción

Se multiplica el entero por el denominador, al producto se le suma el numerador y esta suma se divide por el denominador.

Ejemplo: Convertir 4 3/5 , a fracción.

En 4 3/5 , el entero  4 se multiplica por el denominador 5 (4 x 5)
Al resultado 20 se le suma el numerador 3 y se le pone el mismo denominador (5).

Por lo que el número mixto 4 3/5 , es igual a la fracción impropia 23/5

Convertir una fracción impropia a un número mixto

Se divide el numerador por el denominador, si el cociente es exacto, éste representa los enteros; si no es exacto, se forma una fracción con el residuo que se pone como numerador y el divisor que se pone como denominador.

Ejemplo 1: Convertir la fracción impropia 12/6 , a número mixto.

Se divide el numerador 12 entre el denominador 6 (12 ÷ 6) que es división exacta.

El resultado 2 corresponde al número mixto

Ejemplo 2: Convertir la fracción impropia 15/6 , a número mixto.

Se divide el numerador 15 entre el denominador 6 (15 ÷ 6) que es división inexacta (15 ÷ 6 = 2 y sobran 3).

El resultado 2 corresponde al número entero, el residuo 3 será el numerador y el divisor 6 pasará a ser el denominador

Entonces la fracción impropia 15/6 es igual al número mixto 2 3/6

 

Reducir un entero a fracción

El modo más sencillo de reducir un entero a fracción es ponerle como denominador la unidad (1)

Ejemplo: Convertir 7 enteros a fracción.

Se escribe el 7 como numerador y se pone 1 como denominador.

El resultado es 7/1

Reducir un entero a fracción de denominador dado

Se multiplica el entero por el denominador dado y al producto se le pone el mismo denominador.

Ejemplo: Convertir 7 enteros a fracción equivalente de denominador 4.

Se multiplica el entero 7 por el denominador dado 4 (7 x 4).

Al resultado 28 se le pone el denominador 4

Entonces el número entero 7 es igual 28/4

Reducir una fracción a otra fracción equivalente de denominador dado a términos mayores

El denominador de la nueva fracción será el dado. El numerador se encuentra multiplicando el numerador conocido por el cociente que resulta de dividir los dos denominadores.

Ejemplo: Convertir 2/5 a fracción equivalente de denominador 15.

El nuevo denominador 15 es múltiplo de 5.

Divido el denominador dado 15 entre el denominador de la fracción 2/5 (15 ÷ 5 = 3)

Multiplico el numerador de 2/5 (2) por el cociente de la división anterior 3 (2 x 3 = 6).

El resultado 6 es el numerador de la nueva fracción del denominador dado (15).

Por lo tanto 2/5 es equivalente a 6/15.

Reducir una fracción a otra equivalente de denominador dado a términos menores

El denominador de la nueva fracción será el dado. El numerador se encuentra dividiendo el numerador conocido por el cociente que resulta de dividir los dos denominadores.

Ejemplo: Convertir 24/48 a fracción equivalente de denominador 6.

El nuevo denominador 6 es divisor de 48.

Divido el denominador conocido 48 entre el denominador dado 6 (48 ÷ 6 = 8)

Divido el numerador de 24/48 (24) entre el cociente de la división anterior 8 (24 ÷ 8 = 3).

El resultado 3 es el numerador de la nueva fracción del denominador dado (6).

Por lo tanto 24/48 es equivalente  3/6.

Fracción irreducible

Es toda fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí.

Ejemplo: 3/8 es una fracción irreducible ya que 3 y 8 son primos entre sí (no tienen divisores comunes).

15/22 es una fracción reducida a su mínima expresión ya que 15 y 22 son primos entre sí (no tienen divisores comunes).

Cuando una fracción es irreducible se dice que está reducida a su más simple expresión o a su mínima expresión

Ejemplo 1 Ejercicios resueltos

Ejemplo 2 Ejercicios resueltos

Ejemplo 3 ejercicios resueltos

Las fracciones

Número quebrado o fracción

Fig. Las fracciones

No siempre es posible que las divisiones sean exactas porque a veces no existe un número entero que multiplicado por el divisor dé el dividendo. Por ejemplo si quiero dividir 47 dulces entre 30 niños, no le toca a cada niño una cantidad exacta de dulces enteros; y sólo puedo representar esta división por medio de un número fraccionario: 47/30.

Por lo anterior se dice que un número fraccionario representa el cociente exacto de una división en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor.

Número fraccionario o quebrado
Un número fraccionario o quebrado es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad.
Un quebrado o fracción consta de dos términos llamados numerador y denominador.

El denominador indica en cuántas partes se ha dividido el entero o unidad; y el numerador indica las partes que se toman.

Ejemplo: En la fracción 2/4 el denominador 4 indica que el entero se ha dividido en cuatro partes iguales y el númerador 2 indica que se han tomado dos partes de esas cuatro.

En un quebrado o fracción se escribe el numerador arriba separado del denominador por una línea inclinada u horizontal; y para leerlo se enuncia primero el numerador y después el denominador.

Si la unidad se divide en dos partes iguales estas partes se llaman medios,

Si la unidad se divide en tres partes iguales estas partes se llaman tercios,

Si la unidad se divide en cuatro partes iguales estas partes se llaman cuartos,

Si la unidad se divide en cinco partes iguales estas partes se llaman quintos,

Si la unidad se divide en seis partes iguales estas partes se llaman sextos,

Si la unidad se divide en siete partes iguales estas partes se llaman séptimos,

Si la unidad se divide en ocho partes iguales estas partes se llaman octavos,

Si la unidad se divide en nueve partes iguales estas partes se llaman novenos,

Si la unidad se divide en diez partes iguales estas partes se llaman décimos,

Si la unidad se divide en más de diez partes iguales al nombre del número se le agraga la terminación avo,

Ejemplo: Si la unidad se divide en once partes iguales estas partes se llaman onceavos,

Si la unidad se divide en quince partes iguales estas partes se llaman quinceavos,

Fig. Representación gráfica de fracciones

Clases de fracciones o quebrados

Las fracciones se dividen en fracciones comunes y fracciones decimales

Fracciones comunes

Son aquellas cuyo denominador no es 1 seguido de ceros.

Ejemplo: 3/4, 9/3;
Fracciones decimales

Son las fracciones que tienen como denominador al 1 seguido de ceros.

Ejemplo: 5/10, 7/100, 2/1000;

Las fracciones tanto comunes como decimales pueden ser propias, iguales a la unidad o impropias.
Fracciones propias
Son las que tienen el numerador menor que el denominador
Ejemplo de fracciones comunes propias: 3/15, 9/20, 35/46;

Ejemplo de fracciones decimales propias: 1/10, 17/100, 130/1000;
Fracciones iguales a la unidad
Son las que tienen el numerador igual al denominador
Ejemplo de fracciones comunes iguales a la unidad: 13/13, 25/25, 4/4;

Ejemplo de fracciones decimales iguales a la unidad: 10/10, 100/100, 1000/1000;
Fracciones impropias
Son las que tienen el numerador mayor que el denominador
Ejemplo de fracciones comunes impropias: 13/5, 25/3, 4/2;

Ejemplo de fracciones decimales impropias: 15/10, 132/100, 1245/1000;

Toda fracción impropia es mayor que el entero o unidad

Número mixto
Es el que consta de un entero y una fracción.

Ejemplo:   3½

Propiedades de las fracciones

a). De varias fracciones que tengan igual denominador, es mayor la que tenga mayor numerador

Ejemplo: 3/9, 8/9, 2/9; todas tienen denominador 9.

De los numeradores 3, 8 y 2; es mayor el 8.

Por lo tanto de las tres fracciones anteriores 8/9 es la mayor.
b). De varias fracciones que tengan igual numerador, es mayor la que tenga menor denominador

Ejemplo:3/9, 3/6, 3/10; todas tienen numerador 3.

De los denominadores 9, 6 y 10; es menor el 6.

Por lo tanto de las tres fracciones anteriores 3/6 es la mayor.

Ejemplo1 Ejercicios resueltos

Ejemplo 2 Ejercicios resueltos

Ejemplo 3 Ejercicios resueltos