Ejemplos resueltos. Área y volumen de pirámides

Ejemplos resueltos

Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Recordemos  los elementos de una pirámide

Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer:

1. El área de la base (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide.
2. El perímetro de la base(pb ), que es la longitud de todas las caras.
3. La apotema de la base (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado.
4. La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral.
5. La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.

Si deseas el formulario para obtener el volumen haz clic aquí

Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de una pirámide son las siguientes:

Ejemplos de ejercicios de área y volumen de una pirámide.

1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema

indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular.  Es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m;  y el apotema de la base 0.60m

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.

 

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular  cuyas medidas son las siguientes:

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.

Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:

Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.

Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C²  = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² –  A²;.

Veamos en la siguiente imagen:

Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:

 

Otros ejemplos relacionados. Ejercicio 1

Ejemplos resueltos de Área y volumen de prismas.

Ejemplos resueltos

Recordemos antes los elementos del prisma.

Área y volumen de un prisma.

Para calcular el área total de un prisma siempre es necesario conocer tres medidas:

1. El área de una base.
2. El perímetro de la base
3. La altura del prisma

Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de cualquier prisma son las siguientes:

Formulario para obtener volumen de prismas. Haz clic aquí.

Resolvamos ejercicios de ejemplos específicos.

1.- Hallar el área total y el volumen de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la  altura el prisma mide 60 cm.

Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas. El problema indica que es un prisma triangular con las siguientes medidas.

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras) que es el área coloreada.

Ver vídeo (para recordar cómo se obtiene el área de un rectángulo).

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es triangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, triángulos isósceles). Es el área coloreada.

Ver vídeo (para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma triangular especificado.

Ahora obtenemos el volumen del prisma triangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del triángulo y multiplicando por la altura del poliedro.

2.- Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 1.20 m y la altura de 4 m.

Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas. El problema indica que es un prisma cuadrangular regular; que es el prisma que tiene como bases dos cuadrados y sus caras son cuatro rectángulos iguales.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras rectangulares iguales) que es el área coloreada.

Ver vídeo (para recordar cómo se obtiene el área de un rectángulo).

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, cuadrados). Es el área coloreada.

Ver vídeo (para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).

Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma cuadrangular regular especificado.

Ahora obtenemos el volumen del prisma cuadrangular regular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

3.- Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular irregular cuya base mide 38 cm  por 21 cm y la altura del prisma es de 30 cm.

Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas. El problema indica que es un prisma cuadrangular irregular; que es el prisma que tiene como bases dos cuadriláteros que pueden ser rectángulos, rombos, romboides, trapecios o trapezoides; y sus caras son cuatro rectángulos.  En este caso las bases son rectángulos.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras rectangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (para recordar cómo se obtiene el área de un rectángulo).

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un rectángulo, ya que la base es rectangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, rectángulos). Es el área coloreada.

Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma rectangular  especificado.

Ahora obtenemos el volumen del prisma rectangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del rectángulo y multiplicando por la altura del poliedro.

4.- Hallar el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular cuya base mide 7.265 de lado y  5cm de apotema, y  la  altura el prisma mide 14 cm.

Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas. El problema indica que es un prisma pentagonal regular con las siguientes medidas.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras rectangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (para recordar cómo se obtiene el área de un rectángulo).

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono, ya que la base es pentagonal; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, pentágonos regulares). Es el área coloreada.

Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma pentagonal regular especificado.

Ahora obtenemos el volumen del prisma pentagonal regular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

Otros ejercicios relacionados. Ejercicio 1

Poliedros. Prismas y pirámides

Poliedro

Es un cuerpo limitado por polígonos llamados caras.

Poliedros regulares

Un poliedro es regular si todos sus ángulos son iguales y todas sus caras son polígonos regulares iguales (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono,).

Existen cinco poliedros regulares que reciben nombres de acuerdo con el número de caras. Son los siguientes:

Poliedros irregulares

Un poliedro es irregular cuando sus lados no son todos iguales.

Se clasifican en prismas y pirámides.

Los prismas tienen dos bases y caras que son paralelogramos; mientras que las pirámides tienen una base y sus caras son triángulos isósceles y se unen en un punto llamado vértice de la pirámide.

Prismas. Elementos

Es un cuerpo geométrico formado por dos polígonos iguales y paralelos que son las bases y varios paralelogramos que son sus caras laterales.

Las caras del prisma forman la superficie lateral del mismo.

Las aristas laterales son las que no pertenecen a las bases (son las líneas que unen a dos caras).

La altura del prisma es la distancia que hay entre sus bases.

Vértice es el punto donde se unen dos lados del poliedro

Dependiendo de la forma que tengan sus bases, los prismas pueden ser: triangulares, cuadrangulares, rectangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

Prisma paralelepípedo

Se le llama así al prisma que tiene paralelogramos (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide) como bases.

Pirámide. Elementos

Es un cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos isósceles que se unen en un punto llamado vértice de la pirámide.

Por la forma de su base, las pirámides pueden ser triangulares, cuadrangulares, rectangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

Formulario para obtener volumen de prismas y pirámides aquí

Ejercicios resueltos 1

Ejercicios resueltos 2